Solución Física

Nuestro problema trata de encontrar las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para la siguiente situación: Ya solucionamos un problema un poco más difícil, que nos deja ver como es el ordenamiento de los resortes en paralelo , y lo hice por una sencilla razón, para que podamos visualizar mejor el problema. Obtenemos nuestro hamiltoniano mediante una transformación de Legendre: \[H(p_x,x)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\] Este Hamiltoniano es igual (en forma) al caso en serie , pero como veremos más adelante su solución como su espacio de fase son diferentes. Vamos ahora a obtener la constante del resorte equivalente, la suma total de la energía potencial de los resortes es: \[V=V_1+V_2\] Con $V=\frac{1}{2}kx^{2}$: \[\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\] Como los resortes recorren una misma distancia, el valor de la distancia al cuadrado, será como muchos de ustedes pensarán igual, así finalmente hallamos la constante del r

Volviendo al "orden" de las publicaciones, claramente lo subrayo, porque en futuras publicaciones es muy probable que el enfoque de mostrar los diferentes problemas que podemos desarrollar y quizá solucionar con el formalismo de Euler-Lagrange cambien, y no se preocupen que por ahora todo se vea aparentemente como resortes, esto sucede por una simple razón, tanto el movimiento de los resortes como el movimiento del péndulo (que desarrollare y solucionaré en un futuro cercano), son la base del modelamiento de muchos sistemas físicos, por la sencillez que tienen. Ahora si podemos solucionar un sistema de dos resortes con una masa en paralelo, en la publicación donde añadíamos la gravedad, simplemente lo hacía por comparar y entender mejor (precisamente en está publicación) que el siguiente esquema representa un problema en paralelo: La única coordenada que nos permite describir el movimiento del sistema es $x$, como hasta el momento hemos visto en problemas en una sola dimens

La idea de mostrar primero, un sistema de dos resorte con gravedad como en la publicación anterior, es para visualizar mejor, como sería un sistema de dos resortes en paralelo (sin gravedad), y que se mueve a través del eje horizontal: Ahora sí podemos formular nuestra suma de fuerzas que actúan sobre la masa: \[\sum F_x: ma=-k_1x_1-k_2x_2\] Comparando con el problema en serie  la fuerza total es igual a la suma de las fuerzas: \[F=F_1+F_2\] Pero $F=-kx$: \[-kx=-k_1x_1-k_2x_2\] Pero como la distancia recorrida es la misma, tenemos el valor de la constante del resorte equivalente: \[k=k_1+k_2\] Es así como la sumatoria de fuerzas en términos de la constante del resorte equivalente, queda de la forma: \[\sum F_x: ma=-kx\] Que corresponde a la ya solucionada ecuación diferencial del oscilador armónico en una dimensión : \[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\] \[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\] Con $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$. Aunque la solución tenga el mismo procedimiento, y aparentemente la misma

Puede que la pregunta suene un poco tonta para aquellos que han visto las publicaciones que he hecho, y que además saben del tema, y para algunos otros sea una ventana hacia el conocimiento, pues muchas veces vemos aplicado el formalismo de Hamilton-Jacobi a algunos problemas específicos que se proponen en los libros de Mecánica Clásica, Mecánica Teórica o Mecánica Analítica, pero no podemos culparlos; son problemas que pueden ser considerados fundamentales para hacer una transición a otras partes interesantes de la física, por ahora en este blog pretendo llenar esos vacíos respecto a aquellos ejercicios que desconocíamos por completo a los cuales se les puede aplicar estos interesantes formalismos, (O es posible que estén en algún libro). Nuestro sistema a resolver mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi es el siguiente: Un sistema de dos resortes con una masa  en paralelo con gravedad, los dos sistemas en las imágenes son equivalentes, y tienen la misma solución. Su hamiltoniano ig

 Aunque los problemas que surgen al analizar el movimiento en una dimensión, para aquellos que se están iniciando parece que no hay suficientes problemas, por resolver y/o analizar mediante los espacios de fase y las ecuaciones de Hamilton, esta vez tenemos la oportunidad de tratar con el siguiente problema: Para este sistema de dos resortes con una masa y gravedad, vamos a hallar la solución a las ecuaciones de movimiento, así como comparar el espacio de fase, de un sistema con un único resorte, con el sistema de resortes en serie, para poder ver las diferencias. Como es costumbre, obtenemos el Hamiltoniano mediante una transformación de Legendre : \[H(p_y,y)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}-mgy\] Este hamiltoniano aunque es igual al caso en serie , por el sólo hecho de estar los resortes dispuestos en paralelo, nos da una solución diferente. Como las energías en los resortes que actúan sobre la masa son iguales: \[V=V_1+V_2\] Para que se cumpla esta igua

Si has estado leyendo el blog, te has dado cuenta que vamos desarrollando problemas cada vez más complejos, aunque algunas veces estos se puedan reducir a problemas más sencillos, lo unico diferente que realizamos en estos ejercicios que tienen esa ventaja es presentar el lagrangiano del sistema, los puntos clave de la solución, así como una breve interpretación; en este caso tenemos dos resortes que sostienen una masa, con gravedad: Si te preguntas cuál es la coordenada generalizada para este problema, pues debemos recordar que es aquella por donde se  realiza el movimiento, y el movimiento en ambos sistemas se realiza en el eje $y$, ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma: \[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy\] Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa.  \[V=V_1+V_2

 Esta vez he decidido cambiar el orden de mostrar las publicaciones, pues como ya lo han visto (o en caso de no verlo los invito a que vean el orden de las publicaciones en el blog, de acuerdo a cada una de las formas de solucionar las ecuaciones del movimiento) que empiezo con un problema sin tener en cuenta la gravedad; y después introducimos la gravedad, para poder ver los resultados que cambian. Ahora si nos dirigimos a nuestro problema que consiste de dos resortes en paralelo que sostienen a una masa, aunque podemos ver dos casos análogos, que tienen la misma solución: Aunque es más claro los resortes en paralelo en el esquema a nuestra derecha, aplicara las mismas ecuaciones de movimiento para la configuración de la izquierda. Es momento de obtener la suma de fuerzas que actúan sobre la masa en el eje $y$: \[\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg\] Pero a diferencia del problema en serie  acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es: \[F=F_1+F_2\] Esto la hacemos para obtener

Es hora de poner a prueba nuestro problema frente al formalismo de Hamilton-Jacobi: El hamiltoniano para este caso es: \[H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy=E\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: \[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] Así, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi que se obtienen del Hamiltoniano quedan de la forma: \[\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}y^{2}-mgy=

Esta vez consideramos el sistema de una masa con dos resortes como se muestra abajo: El hamiltoniano para este caso se obtiene de aplicarle al lagrangiano una transformación de Legendre visto antes : \[H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: \[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] Así, el hamiltoniano queda de la forma: \[H(p_{y},y)=\frac{p_{y

Sigamos aplicando principios variacionales a nuestros problemas, en esta oportunidad será una masa con dos resortes y atracción gravitacional: Debemos tener en cuenta, que para este caso, el movimiento sólo se realiza en el eje $y$, que correspondera a su coordenada generalizada (después si tendremos problemas con más grados de libertad, todo porque me gusta complicar los problemas.) El lagrangiano para este caso es: \[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky_{1}^{2}-\frac{1}{2}ky_{2}^{2}+mgy\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Su

Como me gusta complicar un poco más los problemas, ahora a los dos resortes vistos anteriormente , les vamos a agregar atracción gravitacional: La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte: \[\sum F_{y}: ma=-k_{1}y_{1}-k_{2}y_{2}\] Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa $m$, los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia $y_T$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte: \[y=y_1+y_2\] Y de acuerdo a la ley de Hooke, $F=-ky$, es posible despejar la distancia recorrida $y=-\frac{F}{k}$, tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa: \[-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente $k_{e}$ en términos de $k_1$ y $k_2$: \[\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}\] \[k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] así la

Completamos nuestro desarrollo de soluciones aplicando el formalismo de Hamilton-Jacobi al problema de una masa con dos resortes: El hamiltoniano para este caso es: \[H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}=E\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: \[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] Así, a partir del hamiltoniano aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, como se conserva la ener

Es turno de aplicar las ecuaciones de Hamilton, para este problema, veremos que se reduce a un caso más sencillo El hamiltoniano como es costumbre, se obtiene a partir de una transformación de Legendre, como vimos antes : \[H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}+\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: \[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] Así, el hamiltoniano queda de la forma: \

Es el turno de aplicarle las ecuaciones de Euler-Lagrange a nuestra masa que realiza un movimiento armónico con dos resortes: Cómo sólo consideramos movimiento horizontal, la coordenada generalizada corresponde a $x$, mas adelante se podran considerar problemas con más grados de libertad (Ahora empezamos con lo "sencillo") El lagrangiano para este caso es: \[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}-\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalen

Aunque este problema pueda parecer complicado, mostrare como reducirlo a uno más sencillo que ya hemos desarrollado en ocasiones anteriores La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte: \[\sum F_{x}: ma=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}\] Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa $m$, los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia $x$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte: \[x=x_1+x_2\] Y de acuerdo a la ley de Hooke, $F=-kx$, es posible despejar la distancia recorrida $x=-\frac{F}{k}$, tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa: \[-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente $k_{e}$ en términos de $k_1$ y $k_2$: \[\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}\] \[k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] así la suma

Finalmente en este problema con un poco más de dificultad vamos a aplicarle las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para obtener la integral completa, el momento en función de la coordenada (escribo en singular, porque aún estamos en una dimensión) y su respectiva ecuación integro-diferencial que al resolverla da la solución a nuestro problema. Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de acuerdo al procedimiento visto con potencial : \[\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E\] \[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E\] Despejamos los términos del parentesis: \[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\] Aplicamos separación de variables: \[S_{0}=Y(y)\] Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: \[\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\] Despejamos la función $Y(y)$: \[\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right

Esta vez veremos las ecuaciones de movimiento con el formalismo de Hamilton, y su respectivo espacio de fase que será comparado con el espacio de fase para el caso sin gravedad. El hamiltoniano se obtiene siguiendo el mismo procedimiento  mediante una transformación de Legendre: \[H(p_y,y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy\] Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema: \[\dot{p_y}=-\frac{\partial H}{\partial y}\] \[\dot{p_y}=-ky+mg\] \[\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_x}\] \[\dot{y}=\frac{p_y}{m}\] De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional: \[m\ddot{y}=-ky+mg\] Dividimos por $m$ e igualamos a cero: \[\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g\] con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] La solución para está  ecuación diferencial  es: \[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}\] Por lo  tanto la solución se puede pres

Es el turno de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange para nuestro sistema de resorte con gravedad: La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=\frac{1}{2}ky^{2}-mgy$, el lagrangiano para este caso es: \[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\] Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange: \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\] \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\] \[\frac{d}{dt}(m\dot{y})+ky-mg=0\] \[m\ddot{y}+ky-mg=0\] Que si dividimos por $m$, llegamos a la ecuación diferencial siguiente: \[\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g\] Que puede ser representado en la forma (Esto porque $\frac{k}{m}=\omega^{2}$): \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Y la  solución para está ecuación diferencial  corresponde a: \[y(t)=Asen(

Es hora de complicar un poco más el problema, vamos a agregarle el peso a una masa colgando de un resorte que le va a proporcionar un movimiento armónico Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en y: \[\sum F_{y}:ma=-ky+mg\] Donde el primer término al lado derecho de la igualdad corresponde a la fuerza de Hooke y el segundo al peso del cuerpo, $m$ es la masa del objeto atado al resorte, $k$ es la constante de elástica del resorte, el tpermino a la izquierda del igual nos proporciona el movimiento; a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional con gravedad: \[ma=-ky+mg\] La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo: \[m\ddot{y}=-ky+mg\] Pasamos a dividir por la masa e igualando a $g$ obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea: \[\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g\] con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movi