¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un sistema de dos resortes y una masa con gravedad en una dimensión? (Resortes en serie)

Esta vez consideramos el sistema de una masa con dos resortes como se muestra abajo:

El hamiltoniano para este caso se obtiene de aplicarle al lagrangiano una transformación de Legendre visto antes:

\[H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy\]

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

\[y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\]

Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior:

\[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\]

\[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\]

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

\[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\]

Así, el hamiltoniano queda de la forma:

\[H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}y^{2}-mgy\]

Podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtener la solución de dicha ecuación diferencial análogo al oscilador armónico unidimensional con gravedad:

\[\ddot{y}+\frac{k_e}{m}y=g\]

\[y(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)+\frac{g}{\omega_{e}^{2}}\]

La solución también puede ser representada como:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)+\frac{mg(k_1+k_2)}{k_{1}k_{2}}\]

Ahora podemos hacer la comparación de los espacios de fase para el caso de un sólo resorte, así como para el de dos resortes, a partir del hamiltoniano equivalente obtenemos el momento $p_y$ en función de la coordenada $y$, y como es un sistema conservativo el Hailtoniano corresponde con la energía del sistema $H=E$:

\[p_y=\sqrt{2m\left[E+mgy-\frac{1}{2}k_ey^{2}\right]}\]

\[p_y=\sqrt{2m\left[E+mgy-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\right)y^{2}\right]}\]

Que corresponde al espacio de fase:

Como cada elipse pertenece a un nivel de energía diferente, es interesante que el espacio de fase de nuestro problema (elipse azul) puede pasar por diferentes niveles de energía del problema con un único resorte, así que le corresponden valores de energía diferentes, y no se puede reducir al problema más sencillo, sin importar los valores que se tomen de las constantes de los resortes.

Además es posible generalizar el resultado si tenemos $n$ resortes en serie, así el hamiltoniano, el momento $p_y$ en función de $y$ y la solución toman la forma:

\[H(p_{y},y_1\cdots y_n)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2}ky_{n}^{2}-mgy\]

\[H(p_{y},y_1\cdots y_n)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}-mgy+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}ky_{n}^{2}\]

\[p_y=\sqrt{2m\left[E+mgy-\frac{1}{2}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}y^{2}\right]}\]

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)+mg\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}\]