¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema de dos resortes con una masa y gravedad en una dimensión?

Sigamos aplicando principios variacionales a nuestros problemas, en esta oportunidad será una masa con dos resortes y atracción gravitacional:

Debemos tener en cuenta, que para este caso, el movimiento sólo se realiza en el eje $y$, que correspondera a su coordenada generalizada (después si tendremos problemas con más grados de libertad, todo porque me gusta complicar los problemas.)

El lagrangiano para este caso es:

$$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky_{1}^{2}-\frac{1}{2}ky_{2}^{2}+mgy$$

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

$$y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$

Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior:

$$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$

$$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

$$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$

Así, el lagrangiano queda de la forma:

$$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_{e}y^{2}+mgy$$

Podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtener la solución de dicha ecuación diferencial análogo al oscilador armónico unidimensional con gravedad:

$$\ddot{y}+\frac{k_e}{m}y=g$$

$$y(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)+\frac{g}{\omega_{e}^{2}}$$

Donde $A$ es la amplitud, $\omega_{e}=\sqrt{\frac{k_{e}}{m}}=\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}$ la frecuencia angular en términos de las constantes de los resortes, $t$ el tiempo, y $\phi$ el ángulo de fase.

La solución también puede ser representada como:

$$y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)+\frac{mg(k_1+k_2)}{k_{1}k_{2}}$$

Además es posible generalizar el resultado si tenemos $n$ resortes en serie, así el lagrangiano y la solución toman la forma:

$$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky_{1}^{2}-\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-\cdot\cdot\cdot-\frac{1}{2}ky_{n}^{2}+mgy$$

$$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy-\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}ky_{n}^{2}$$

$$y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)+mg\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}$$