¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un sistema de dos resortes y una masa con el formalismo de Newton? (Resortes en serie)

Aunque este problema pueda parecer complicado, mostrare como reducirlo a uno más sencillo que ya hemos desarrollado en ocasiones anteriores

La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte:

$\sum F_{x}: ma=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}$

Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa

$m$ , los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia

$x$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte:

$x=x_1+x_2$

Y de acuerdo a la ley de Hooke,

$F=-kx$ , es posible despejar la distancia recorrida

$x=-\frac{F}{k}$ , tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa:

$-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}$

$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente

$k_{e}$ en términos de

$k_1$ y

$k_2$ :

$\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}$

$k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$

así la suma de fuerzas en términos de la constante del resorte equivalente será:

$\sum F_{x}: ma=-k_{e}x$

Por lo tanto podemos obtener una ecuación de movimiento y una solución análoga, al oscilador armónico unidimensional:

$\ddot{x}+\frac{k_e}{m}x=0$

$x(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)$

Donde

$A$ es la amplitud,

$\omega_{e}=\sqrt{\frac{k_{e}}{m}}=\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}$ la frecuencia angular en términos de las constantes de los resortes y de la masa,

$t$ el tiempo, y

$\phi$ el ángulo de fase.

La solución también puede ser representada como:

$x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)$

Vamos a ver cuál es el cambio en la gráfica, en comparación con el el movimiento de un único resorte dejando fijo

$k$ (gráfica color negro) y

$k_2$ ,

$k\neq k_2$ tenemos en cuenta tres casos:

$(k_1>k_2)<k$

$(k_1=k_2)\approx k$ (Donde sea igual se sobrepone a la curva de color negro)

$(k_1<k_2)>k$

Además es posible generalizar el resultado si tenemos

$n$ resortes en serie, así la solución toma la forma:

$x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)$

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$y$ , ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma:

$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy$ Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa. \[...

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$y$ :

$\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg$ Pero a diferencia del problema en serie acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es:

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