¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un sistema de dos resortes y una masa con gravedad con el formalismo de Newton? (Resortes en paralelo)

 Esta vez he decidido cambiar el orden de mostrar las publicaciones, pues como ya lo han visto (o en caso de no verlo los invito a que vean el orden de las publicaciones en el blog, de acuerdo a cada una de las formas de solucionar las ecuaciones del movimiento) que empiezo con un problema sin tener en cuenta la gravedad; y después introducimos la gravedad, para poder ver los resultados que cambian.

Ahora si nos dirigimos a nuestro problema que consiste de dos resortes en paralelo que sostienen a una masa, aunque podemos ver dos casos análogos, que tienen la misma solución:

Aunque es más claro los resortes en paralelo en el esquema a nuestra derecha, aplicara las mismas ecuaciones de movimiento para la configuración de la izquierda.

Es momento de obtener la suma de fuerzas que actúan sobre la masa en el eje $y$:

\[\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg\]

Pero a diferencia del problema en serie acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es:

\[F=F_1+F_2\]

Esto la hacemos para obtener el valor de la resistencia equivalente, así que reemplazamos por la forma de la ley de Hooke:

\[-k_ey=-k_1y_1-k_2y_2\]

Donde ambos resortes recorren la misma distancia aún al tener diferente valor de la constante del resorte, así $y_1=y_2$, obteniendo el valor de la constante equivalente:

\[k_e=k_1+k_2\]

Reemplazamos en nuestra ecuación de movimiento que obtuvimos al hacer la suma de fuerzas:

\[ma=-k_ey+mg\]

A partir de acá tenemos una ecuación de movimiento y una solución análoga, al oscilador armónico con gravedad:

\[\ddot{y}+\frac{k_e}{m}=g\]

\[y(t)=Asen(\omega_et+\phi)+\frac{g}{\omega_e^{2}}\]

Donde $A$ es la amplitud, $\omega_e=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$, $t$ el tiempo, y $\phi$ el ángulo de fase, podemos representar la solución en términos de las constantes de los resortes:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}t+\phi\right)+\frac{mg}{k_1+k_2}\]

Observemos como es la gráfica de espacio vs tiempo, dejamos fijo los valores de $k$ (curva color negro) y $k_2$, $k\neq k_2$, al igual que el caso en serie, tenemos tres casos:

1) $(k_1>k_2)<k$

2) $(k_1=k_2)\approx k$ sí la suma de las constantes de los resortes es igual a la constante $k$, la gráfica se suporpone, contrario al problema en serie.

3) $(k_1<k_2)>k$

Es de especial importancia, el porque las gráficas son diferentes, y para eso es que debemos situarnos en el movimiento del resorte, y efectivamente como están dispuestos.

En el primer caso si la suma de las constantes $k_1$ y $k_2$ es menor a $k$, la gráfica tiene un periodo de oscilación más largo, y un punto inicial mas grande, en el segundo caso donde la suma de las constantes es igual a $k$, simplemente nos dice que los resortes en paralelo van a funcionar igual que un resorte de constante $k$, y en el tercer caso, contrario al primero en todo sentido (la suma de las constantes es mayor a $k$), se tiene un movimiento con un punto inicial de movimiento cercano al origen, y un periodo de oscilación menor.

Al igual que en el caso anterior es posible generalizar los resultados a $n$ resortes en paralelo:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n}k_n}{m}}t+\phi\right)+\frac{mg}{\sum_{n=1}^{n}k_n}\]