¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un sistema de dos resortes en paralelo?

Nuestro problema trata de encontrar las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para la siguiente situación:

Ya solucionamos un problema un poco más difícil, que nos deja ver como es el ordenamiento de los resortes en paralelo, y lo hice por una sencilla razón, para que podamos visualizar mejor el problema.

Obtenemos nuestro hamiltoniano mediante una transformación de Legendre:

\[H(p_x,x)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\]

Este Hamiltoniano es igual (en forma) al caso en serie, pero como veremos más adelante su solución como su espacio de fase son diferentes.

Vamos ahora a obtener la constante del resorte equivalente, la suma total de la energía potencial de los resortes es:

\[V=V_1+V_2\]

Con $V=\frac{1}{2}kx^{2}$:

\[\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\]

Como los resortes recorren una misma distancia, el valor de la distancia al cuadrado, será como muchos de ustedes pensarán igual, así finalmente hallamos la constante del resorte equivalente:

\[k=k_1+k_2\]

Reemplazamos en nuestro hamiltoniano, quedando este último de la forma:

\[H(p_x,x)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}\]

Y el caso se reduce a resolver el hamiltoniano con un sólo resorte que anteriormente habíamos solucionado:

\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]

Con $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$, representando la solución cómo:

\[x(t)=Asen\left( \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} t+\phi\right)\]

Ahora a partir del hamiltoniano, obtenemos el momento $p_x$ en función de $x$, tomando al hamiltoniano igual a la energía del sistema, dado que el sistema es conservativo $H=E$, como ya hemos hecho anteriormente: 

\[p_x=\pm\sqrt{\left[E-\frac{1}{2}(k_1+k_2)x^{2}\right]}\]

Ahora vamos a graficar el espacio de fase y compararlo con el caso más simple y con el caso en serie para poder ver las diferencias:

Para el caso más simple corresponde la gráfica de color negro, que corresponde una energía intermedia, donde su valor de $k$, es menor a los valores de $k_1$ y $k_2$, para el caso de los resortes en serie y paralelo, al caso en serie le corresponde la gráfica en color azul, y finalmente para nuestro caso le corresponde la gráfica de color rojo, Esto quiere decir que el sistema de resortes en serie tiene más energía que el caso de resortes en paralelo, debido a la comparación realizada.

Ahora podemos generalizar el Hamiltoniano, la función para el espacio de fase y la solución para $n$ resortes en paralelo:

\[H(p_x,x_1,x_2,\cdots,x_n)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}+\cdots+\frac{1}{2}k_nx_n^{2}\]

\[H(p_x,x_1,x_2,\cdots,x_n)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_nx_n^{2}\]

\[p_x=\pm\sqrt{2m\left[E-\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_nx_n^{2}\right]}\]

\[x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n}k_n}{m}}t+\phi\right)\]