¿Cómo son las ecuaciones del movimiento para un resorte en paralelo con Euler-Lagrange?

Volviendo al "orden" de las publicaciones, claramente lo subrayo, porque en futuras publicaciones es muy probable que el enfoque de mostrar los diferentes problemas que podemos desarrollar y quizá solucionar con el formalismo de Euler-Lagrange cambien, y no se preocupen que por ahora todo se vea aparentemente como resortes, esto sucede por una simple razón, tanto el movimiento de los resortes como el movimiento del péndulo (que desarrollare y solucionaré en un futuro cercano), son la base del modelamiento de muchos sistemas físicos, por la sencillez que tienen.

Ahora si podemos solucionar un sistema de dos resortes con una masa en paralelo, en la publicación donde añadíamos la gravedad, simplemente lo hacía por comparar y entender mejor (precisamente en está publicación) que el siguiente esquema representa un problema en paralelo:

La única coordenada que nos permite describir el movimiento del sistema es $x$, como hasta el momento hemos visto en problemas en una sola dimensión, así el lagrangiano del sistema es:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_1^{2}-\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\]

La suma energía potencial de los resortes es la suma de las energías potenciales de cada uno de los resortes:

\[V=V_1+V_2\]

Donde $V=\frac{1}{2}kx^{2}$:

\[\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\]

Donde las distancias que recorren son las mismas, e igualmente sus distancias al cuadrado, obteniendo así la constante del resorte equivalente:

\[k=k_1+k_2\]

Reemplazamos en nuestro lagrangiano, y llegamos a un lagrangiano ya solucionado:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}\]

Su solución tiene el mismo procedimiento, todo por tener la misma forma (esto no quiere decir que sea la misma trayectoria, por saber que es un sistema de dos resortes)

\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]

Donde $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$, así otra forma de representarlo en términos de las constantes de los resortes es:

\[x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}t+\phi\right)\]

Esta solución nos representa la trayectoria más optima que puede seguir una masa entre dos resortes despreciables (en el sentido que su masa es muchísimo menor a la masa de la pelota roja)

Es posible generalizar los resultados a un sistema de $n$ resortes en paralelo, su lagrangiano y su solución:
\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_1^{2}-\frac{1}{2}k_2x_2^{2}\cdots-\frac{1}{2}k_nx_n^{2}\]

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_nx_n^{2}\]

\[x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n}k_n}{m}}t+\phi\right)\]

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