¿Es posible aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi a un sistema con dos resortes con masa y gravedad? (Resortes en paralelo)

Puede que la pregunta suene un poco tonta para aquellos que han visto las publicaciones que he hecho, y que además saben del tema, y para algunos otros sea una ventana hacia el conocimiento, pues muchas veces vemos aplicado el formalismo de Hamilton-Jacobi a algunos problemas específicos que se proponen en los libros de Mecánica Clásica, Mecánica Teórica o Mecánica Analítica, pero no podemos culparlos; son problemas que pueden ser considerados fundamentales para hacer una transición a otras partes interesantes de la física, por ahora en este blog pretendo llenar esos vacíos respecto a aquellos ejercicios que desconocíamos por completo a los cuales se les puede aplicar estos interesantes formalismos, (O es posible que estén en algún libro).

Nuestro sistema a resolver mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi es el siguiente:

Un sistema de dos resortes con una masa  en paralelo con gravedad, los dos sistemas en las imágenes son equivalentes, y tienen la misma solución.

Su hamiltoniano igualado a la energía del sistema es:

$$H(p_y,y_{1,2})=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}-mgy=E$$

Cómo las distancias que recorren los resortes son iguales, aunque en el sentido opuesto para el primer sistema de la imagen, o con el mismo signo para la segunda imagen nuestras energías potenciales de los resortes quedan de la forma:

$$V=V_1+V_2$$

Con $V=\frac{1}{2}ky^{2}$:

$$\frac{1}{2}ky^{2}=\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y^{2}$$

$$k=k_1+k_2$$

De esta sencilla forma obtenemos la constante del resorte equivalente, y nuestro hamiltoniano igualado a la energía del sistema queda de la forma:

$$H(p_y,y)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$

Ahora aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi:

$$\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_0}{\partial y}\right)+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$

Siguiendo el mismo procedimiento para un resorte en una dimensión visto antes, obtenemos la integral completa, la ecuación para el espacio de fase, la ecuación integral para hallar la solución a las ecuaciones de movimiento, y la solución de nuestro problema:

$$S(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}(k_1+k_2)y^{2}\right)}dy-Et$$

$$\frac{\partial S(y)}{\partial y}=p_{y}=\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}(k_1+k_2)y^{2}\right)}$$

$$\frac{\partial S(y)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}(k_1+k_2)y^{2}\right)}}dy-t$$

$$y(t)=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg}{(k_1+k_2)}\right)sen\left(\sqrt{\frac{(k_1+k_2)}{m}}t+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{mg}{(k_1+k_2)}$$

Es posible generalizar hasta para $n$ resortes en paralelo con gravedad, así las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, la integral completa y la solución toman la forma:

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_0}{\partial x}\right)^{2}-mgy+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_ny_{n}^{2}=E$$

$$S(y)=\int \sqrt{2m\left[E+mgy-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{n}k_{n}y^{2}\right]}dy-Et$$

$$y(t)=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg}{\sum_{n=1}^{n}k_{n}}\right)sen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n}k_{n}}{m}}t+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{mg}{\sum_{n=1}^{n}k_{n}}$$