¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema de dos resortes y una masa con gravedad? (Resortes en Paralelo)

Si has estado leyendo el blog, te has dado cuenta que vamos desarrollando problemas cada vez más complejos, aunque algunas veces estos se puedan reducir a problemas más sencillos, lo unico diferente que realizamos en estos ejercicios que tienen esa ventaja es presentar el lagrangiano del sistema, los puntos clave de la solución, así como una breve interpretación; en este caso tenemos dos resortes que sostienen una masa, con gravedad:

Si te preguntas cuál es la coordenada generalizada para este problema, pues debemos recordar que es aquella por donde se  realiza el movimiento, y el movimiento en ambos sistemas se realiza en el eje $y$, ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy\]

Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie, en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa. 

\[V=V_1+V_2\]

Donde la energía potencial del resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$, reemplazamos:

\[\frac{1}{2}ky^{2}=\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}\]

Como las constantes de los resortes no son iguales, entonces para que dicha igualdad entre las energías se cumpla, las distancias al cuadrado deben ser iguales, así obtenemos la constante del resorte equivalente:

\[k=k_1+k_2\]

Y podemos representar nuestro lagrangiano en base a la constante del resorte equivalente:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\]

A este lagrangiano ya le hemos aplicado las ecuaciones de Euler-Lagrange, y nos da la siguiente ecuación de movimiento:

\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}\]

Pero debemos recordar que $k=k_1+k_2$, y así $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$, por lo tanto la trayectoria más optima que sigue en el espacio este sistema corresponde a la solución:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} t+\phi\right)+\frac{mg}{k_1+k_2}\]

Luego es posible generalizar el lagrangiano y su solución para $n$ resortes en paralelo:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}-\cdots-\frac{1}{2}k_ny_n^{2}+mgy\]

\[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_ny_n^{2}+mgy\]

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n}k_n}{m}} t+\phi\right)+\frac{mg}{\sum_{n=1}^{n}k_n}\]