¿Cómo son las ecuaciones del movimiento para un resorte en paralelo con el formalismo de Newton?

La idea de mostrar primero, un sistema de dos resorte con gravedad como en la publicación anterior, es para visualizar mejor, como sería un sistema de dos resortes en paralelo (sin gravedad), y que se mueve a través del eje horizontal:

Ahora sí podemos formular nuestra suma de fuerzas que actúan sobre la masa:

\[\sum F_x: ma=-k_1x_1-k_2x_2\]

Comparando con el problema en serie la fuerza total es igual a la suma de las fuerzas:

\[F=F_1+F_2\]

Pero $F=-kx$:

\[-kx=-k_1x_1-k_2x_2\]

Pero como la distancia recorrida es la misma, tenemos el valor de la constante del resorte equivalente:

\[k=k_1+k_2\]

Es así como la sumatoria de fuerzas en términos de la constante del resorte equivalente, queda de la forma:

\[\sum F_x: ma=-kx\]

Que corresponde a la ya solucionada ecuación diferencial del oscilador armónico en una dimensión:

\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\]

\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]

Con $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$.

Aunque la solución tenga el mismo procedimiento, y aparentemente la misma forma, les voy a mostrar cuál es la diferencia del comportamiento de la solución dejando $k$ y $k_1$ fijos:

1) $(k_1>k_2)>k$ Esto quiere decir que la suma de las constantes $k_1$ y $k_2$ (gráfica en azul) es mayor a $k$ (gráfica en negro)

2)$(k_1=k_2)\approx k$ Utilizamos una aproximación, porque de ser igual la suma de las constantes $k_1$ y $k_2$, se recupera la gráfica con la constante del resorte $k$.

3)$(k_1<k_2)<k$ y por último sí la suma de las constantes $k_1$, y $k_2$ es menor al valor de la constante $k$, vemos la diferencia de acuerdo a la longitud de onda de la gráfica de color azul, respecto a la gráfica en color negro respectivamente.

Es posible generalizar los resultados, a un sistema de $n$ resortes en paralelo, y nos queda así la solución:

\[x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n} k_n}{m}} t+\phi\right)\]

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