¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico en una dimensión con el formalismo de Newton?

Siguiendo con los problemas sencillos, vamos a encontrar las ecuaciones del movimiento para un resorte que realiza un movimiento armónico, también conocido como oscilador armónico mediante el formalismo de Newton.

Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en x:
\[\sum F_{x}:ma=-kx\]
Donde el primer término corresponde a la aceleración del cuerpo y el segundo corresponde a la fuerza de Hooke, $m$ es la masa del objeto atado al resorte, $k$ es la constante de elástica del resorte, a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional:
\[ma=-kx\]
La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo:
\[m\ddot{x}=-kx\]
Pasamos a dividir por la masa e igualamos a cero:
\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\]
con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento:
\[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\]
La solución para está ecuación diferencial es:
\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]
$A$ corresponde a la amplitud que está media en metros, $\omega$ es la frecuencia angular y está medida en radianes sobre segundo, $t$ medido en segundos y $\phi$ corresponde al angulo de fase.

La gráfica del espacio $x$ en función del tiempo tiene la forma:

Aquí el ángulo de fase es mayor a $\frac{\pi}{2}$ o menor a ese mismo valor $\phi\approx \frac{\pi}{2}$, en nuestro caso el resorte según la información de la gráfica empieza en su momento $t=0$ en una contracción (Negativo para la contracción y positivo para el estiramiento, debido a la forma en la que escogimos las coordenadas), entre los segundos $1$ y $2$, el resorte está en el punto donde el resorte ya no le ejerce ninguna fuerza, y luego se estira el resorte entre los segundos $2$ y $3$ completando así una oscilación, así sucesivamente sigue el mismo movimiento, este es sólo un ejemplo de como puede ser la gráfica, porque si el ángulo de fase (\phi) es cero, el resorte efectuará un movimiento análogo, solo que empezando a estirarse (porque es una función seno), o contraerse (también puede escogerse fácilmente la función coseno en la solución), sí la frecuencia angular es muy grande ($\omega \rightarrow \infty$) el movimiento será mucho mas lento para completar una oscilación o si la frecuencia angular es muy pequeña ($\omega \rightarrow 0$), el movimiento será mucho más rápido y habrá mas oscilaciones en un tiempo determinado, la amplitud $A$ determina la distancia a la cuál se contrae o se alarga el resorte, en nuestro caso el valor está entre $1m$ o $2m$.

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