¿Es posible aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a una partícula con potencial V(q) en una dimensión?
Y finalmente vamos a mostrar como es la ecuación integro-diferencial para la partícula con potencial mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi (Debes tener en cuenta que digo finalmente, porque desarrollo el problema de cuatro formas diferentes, y lo mejor siempre se deja para lo último):
\[H(p_q,q)=\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E\]
Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi:
\[\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i},\frac{\partial S}{\partial q_{i}},t\right)=0\]
Pero no hay dependencia explicita del tiempo, por lo tanto la escribiremos simplemente como:
\[S(q_{i})=S_{0}-Et\]
Ahora si aplicamos la ecuación de Hamilton-Jacobi para nuestro hamiltoniano, esto es colocar la derivada parcial $\frac{\partial S}{\partial q}$ en todo término donde esté presente el momento $p_q$ del sistema:
\[\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E\]
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q}\right)^{2}+V(q)=E\]
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q}\right)^{2}=2m[E-V(q)]\]
Aplicamos separación de variables (Se debe aplicar en caso que haya más variables, pero en nuestro caso de una dimensión no tiene mucha importancia):
\[S_{0}=Q(q)\]
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
\[\left(\frac{dQ(q)}{dq}\right)^{2}=2m[E-V(q)]\]
Despejamos la función $Q(q)$:
\[\frac{dQ(q)}{dq}=\sqrt{2m[E-V(q)]}\]
\[\int \frac{dQ(q)}{dq}dq=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq\]
\[\int dQ(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq\]
\[Q(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq\]
La acción toma la forma:
\[S(q)=Q(q)-Et\]
\[S(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]}dq-Et\]
Y está ultima se llama la integral completa. Derivamos parcialmente respecto a $q$
\[\frac{\partial S(q)}{\partial q}=p_{q}=\sqrt{2m[E-V(q)]}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre que se obtiene con el formalismo de Hamilton, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial:
\[\frac{\partial S(q)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m[E-V(q)]}}dq-t\]
\[\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m[E-V(q)]}}dq-t\]
Donde no es posible despejar $q$, ya que no sabemos la forma de la función $V(q)$, y por tanto no se pueden conocer los valores de las constantes $\beta_E$ y $E$.
Pero este resultado concuerda con integrar las ecuaciones de movimiento a partir de la conservación de la energía si lo dejamos de la siguiente forma:
\[t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int\frac{1}{\sqrt{[E-V(q)]}}dq-\beta_{E}\]
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q}\right)^{2}=2m[E-V(q)]\]
Aplicamos separación de variables (Se debe aplicar en caso que haya más variables, pero en nuestro caso de una dimensión no tiene mucha importancia):
\[S_{0}=Q(q)\]
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
\[\left(\frac{dQ(q)}{dq}\right)^{2}=2m[E-V(q)]\]
Despejamos la función $Q(q)$:
\[\frac{dQ(q)}{dq}=\sqrt{2m[E-V(q)]}\]
\[\int \frac{dQ(q)}{dq}dq=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq\]
\[\int dQ(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq\]
\[Q(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq\]
La acción toma la forma:
\[S(q)=Q(q)-Et\]
\[S(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]}dq-Et\]
Y está ultima se llama la integral completa. Derivamos parcialmente respecto a $q$
\[\frac{\partial S(q)}{\partial q}=p_{q}=\sqrt{2m[E-V(q)]}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre que se obtiene con el formalismo de Hamilton, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial:
\[\frac{\partial S(q)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m[E-V(q)]}}dq-t\]
\[\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m[E-V(q)]}}dq-t\]
Donde no es posible despejar $q$, ya que no sabemos la forma de la función $V(q)$, y por tanto no se pueden conocer los valores de las constantes $\beta_E$ y $E$.
Pero este resultado concuerda con integrar las ecuaciones de movimiento a partir de la conservación de la energía si lo dejamos de la siguiente forma:
\[t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int\frac{1}{\sqrt{[E-V(q)]}}dq-\beta_{E}\]
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