¿Es posible aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a una partícula con potencial V(q) en una dimensión?

Y finalmente vamos a mostrar como es la ecuación integro-diferencial para la partícula con potencial mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi (Debes tener en cuenta que digo finalmente, porque desarrollo el problema de cuatro formas diferentes, y lo mejor siempre se deja para lo último):

Como explicamos para el formalismo de Hamilton para una partícula con potencial, la energía del sistema está representada por el hamiltoniano:
$$H(p_q,q)=\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E$$
Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi:
$$\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i},\frac{\partial S}{\partial q_{i}},t\right)=0$$
Pero no hay dependencia explicita del tiempo, por lo tanto la escribiremos simplemente como:
$$S(q_{i})=S_{0}-Et$$
Ahora si aplicamos la ecuación de Hamilton-Jacobi para nuestro hamiltoniano, esto es colocar la derivada parcial $\frac{\partial S}{\partial q}$ en todo término donde esté presente el momento $p_q$ del sistema:

$$\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E$$

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q}\right)^{2}+V(q)=E$$
Despejamos los términos del parentesis:
$$\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q}\right)^{2}=2m[E-V(q)]$$
Aplicamos separación de variables (Se debe aplicar en caso que haya más variables, pero en nuestro caso de una dimensión no tiene mucha importancia):
$$S_{0}=Q(q)$$
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
$$\left(\frac{dQ(q)}{dq}\right)^{2}=2m[E-V(q)]$$
Despejamos la función $Q(q)$:
$$\frac{dQ(q)}{dq}=\sqrt{2m[E-V(q)]}$$
$$\int \frac{dQ(q)}{dq}dq=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq$$
$$\int dQ(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq$$
$$Q(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]} dq$$
La acción toma la forma:
$$S(q)=Q(q)-Et$$
$$S(q)=\int \sqrt{2m[E-V(q)]}dq-Et$$
Y está ultima se llama la integral completa. Derivamos parcialmente respecto a $q$
$$\frac{\partial S(q)}{\partial q}=p_{q}=\sqrt{2m[E-V(q)]}$$
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre que se obtiene con el formalismo de Hamilton, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial:
$$\frac{\partial S(q)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m[E-V(q)]}}dq-t$$
$$\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m[E-V(q)]}}dq-t$$
Donde no es posible despejar $q$, ya que no sabemos la forma de la función $V(q)$, y por tanto no se pueden conocer los valores de las constantes $\beta_E$ y $E$.
Pero este resultado concuerda con integrar las ecuaciones de movimiento a partir de la conservación de la energía si lo dejamos de la siguiente forma:
$$t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int\frac{1}{\sqrt{[E-V(q)]}}dq-\beta_{E}$$