¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para una partícula en caída libre?

Ahora apliquemos las ecuaciones de Euler-Lagrange para encontrar la trayectoria más optima que sigue la partícula en el espacio, en caída libre

La coordenada generalizada para este caso corresponde nuevamente en la dirección donde se efectúa el movimiento, que nosotros hemos decidio elegir con la coordenada $y$.

La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=-mgy$ así el lagrangiano para este caso es:
\[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy\]
Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\]
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy\right)\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy\right)\]
\[\frac{d}{dt}(m\dot{y})-mg=0\]
\[m\ddot{y}-mg=0\]
Que si dividimos por $m$, llegamos a la ecuación diferencial siguiente:
\[\ddot{y}-g=0\]
Y la solución para está ecuación diferencial corresponde a:
\[y(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+y_{0}\]
Luego hemos encontrado la solución a nuestra ecuación del movimiento para la caída libre, que corresponde a la trayectoria que menos energía necesita para caer. (puede parecer muy obvio en estos ejercicios iniciales, pero en algunos la dinámica puede complicarse)

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