¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton para una partícula con potencial V(q) en una dimensión?

Ahora para la partícula con potencial, mostraremos la forma de las ecuaciones de Hamilton

Obtenemos el Hamiltoniano mediante una transformación de Legendre:

$$H=\sum(p_{i}\dot{q_{i}}-L)$$

Dondé $L$ (Nuestro lagrangiano ya visto para la partícula con potencial) es de la forma:

$$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)$$

Para poder realizar esa transformación de Legendre debemos identificar los $p_{i}$ que están implicitos en las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0$$

Donde los $\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$ representan los momentos generalizados $p_{i}$, el cuál es un elemento clave para obtener nuestras ecuaciones de movimiento.

Calculamos $p_{i}$ de nuestro lagrangiano:

$$p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$$
$$p_{q}=\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\right)$$

$$p_{q}=m\dot{q}$$
Despejamos $\dot{q}$ del anterior resultado:
$$\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}$$
Con el último resultado procedemos a realizar nuestra transformación de Legendre para hallar el Hamiltoniano $H(p_{q},q)$ que necesitamos para nuestro problema, esto quiere decir que todo termino que este representado por $\dot{q}$ lo reemplazamos por $\frac{p_{q}}{m}$:

$$H=p_{q}\dot{q}-L$$

$$H=p_{q}\dot{q}-\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}+V(q)$$

$$H=p_{q}\frac{p_{q}}{m}-\frac{1}{2}m\left(\frac{p_{q}}{m}\right)^{2}+V(q)$$

$$H=\frac{p^{2}_{q}}{m}-\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)$$

$$H(p_{q},q)=\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)$$
Este procedimiento visto, siempre se realizara para obtener el hamiltoniano del sistema.
Aplicamos las ecuaciones de Hamilton:
La ecuación para $\dot{q}$ es:
$$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p_{q}}$$
$$\dot{q}=\frac{\partial }{\partial p_{q}}\left(\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\right)$$
$$\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}$$
La ecuación para $\dot{p_{q}}$ es:
$$\dot{p_{q}}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$
$$\dot{p_{q}}=-\frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\right)$$
$$\dot{p_{q}}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}$$
Luego las dos ecuaciones de Hamilton:
$$\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}$$

$$\dot{p_{q}}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}$$

Nos permiten bajar el orden de las ecuaciones, y poder analizar los espacios de fase del sistema a partir del Hamiltoniano, ya que este es la energía del sistema:

$$E=\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)$$

Despejamos $p_q$, y obtenemos la función que nos describirá el espacio de fase:

$$p_q=\pm\sqrt{2m[E-V(q)]}$$