Ahora para la partícula con potencial, mostraremos la forma de las ecuaciones de Hamilton
Obtenemos el Hamiltoniano mediante una transformación de Legendre:
\[H=\sum(p_{i}\dot{q_{i}}-L)\]
Dondé $L$ (Nuestro lagrangiano ya visto para la partícula con potencial) es de la forma:
\[L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\]
Para poder realizar esa transformación de Legendre debemos identificar los $p_{i}$ que están implicitos en las ecuaciones de Euler-Lagrange:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0\]
Donde los $\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$ representan los momentos generalizados $p_{i}$, el cuál es un elemento clave para obtener nuestras ecuaciones de movimiento.
Calculamos $p_{i}$ de nuestro lagrangiano:
\[p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\]
\[p_{q}=\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\right)\]
\[p_{q}=\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\right)\]
\[p_{q}=m\dot{q}\]
Despejamos $\dot{q}$ del anterior resultado:
\[\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}\]
Con el último resultado procedemos a realizar nuestra transformación de Legendre para hallar el Hamiltoniano $H(p_{q},q)$ que necesitamos para nuestro problema, esto quiere decir que todo termino que este representado por $\dot{q}$ lo reemplazamos por $\frac{p_{q}}{m}$:
Despejamos $\dot{q}$ del anterior resultado:
\[\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}\]
Con el último resultado procedemos a realizar nuestra transformación de Legendre para hallar el Hamiltoniano $H(p_{q},q)$ que necesitamos para nuestro problema, esto quiere decir que todo termino que este representado por $\dot{q}$ lo reemplazamos por $\frac{p_{q}}{m}$:
\[H=p_{q}\dot{q}-L\]
\[H=p_{q}\dot{q}-\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}+V(q)\]
\[H=p_{q}\frac{p_{q}}{m}-\frac{1}{2}m\left(\frac{p_{q}}{m}\right)^{2}+V(q)\]
\[H=\frac{p^{2}_{q}}{m}-\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\]
\[H(p_{q},q)=\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\]
Este procedimiento visto, siempre se realizara para obtener el hamiltoniano del sistema.
Aplicamos las ecuaciones de Hamilton:
La ecuación para $\dot{q}$ es:
\[\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p_{q}}\]
\[\dot{q}=\frac{\partial }{\partial p_{q}}\left(\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\right)\]
\[\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}\]
La ecuación para $\dot{p_{q}}$ es:
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial H}{\partial q}\]
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\right)\]
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}\]
Luego las dos ecuaciones de Hamilton:
\[\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}\]
Este procedimiento visto, siempre se realizara para obtener el hamiltoniano del sistema.
Aplicamos las ecuaciones de Hamilton:
La ecuación para $\dot{q}$ es:
\[\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p_{q}}\]
\[\dot{q}=\frac{\partial }{\partial p_{q}}\left(\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\right)\]
\[\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}\]
La ecuación para $\dot{p_{q}}$ es:
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial H}{\partial q}\]
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\right)\]
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}\]
Luego las dos ecuaciones de Hamilton:
\[\dot{q}=\frac{p_{q}}{m}\]
\[\dot{p_{q}}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}\]
Nos permiten bajar el orden de las ecuaciones, y poder analizar los espacios de fase del sistema a partir del Hamiltoniano, ya que este es la energía del sistema:
\[E=\frac{p^{2}_{q}}{2m}+V(q)\]
Despejamos $p_q$, y obtenemos la función que nos describirá el espacio de fase:
\[p_q=\pm\sqrt{2m[E-V(q)]}\]
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