¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para una partícula con potencial V(q) en una dimensión?

Ahora es el turno mostrar como es la forma de las ecuaciones de movimiento para una partícula que puede estar en cualquier potencial, aún considerando que podemos estar en una dimensión

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para esta partícula con un potencial cualquiera son:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{a}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{a}}=0\]
Con $q_{a}$ las coordenadas generalizadas del sistema, en nuestro caso solo vamos a tener una única coordenada, que será $q$, así el lagrangiano toma la forma:
\[L=T-V\]
Donde $T$ es la energía cinética del sistema y $V$ es la energía potencial
\[T=\frac{1}{2}mv^{2}\]
\[V=V(q)\]
Donde $v=\dot{q}$ que corresponde a la notación de Newton para representar las derivadas respecto al tiempo, así la energía cinética adopta la representación:
\[T=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}\]
Y el lagrangiano será:
\[L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\]
Aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange y tenemos:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}= 0\]
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\right)\right)-\frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\right)= 0\]
\[\frac{d}{dt}(m\dot{q})+\frac{\partial V(q)}{\partial q}=0\]
\[m\ddot{q}+\frac{\partial V(q)}{\partial x}=0\]
Si igualamos ambos términos encontramos la relación que existe con la fuerza y el potencial, que corresponde a una segunda forma de expresar la segunda ley de Newton:
\[m\ddot{q}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}\]

Con las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos la trayectoria más corta que recorre la partícula de acuerdo al potencial.