¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para una partícula en caída libre?

Es turno para aplicar el formalismo de Hamilton, para obtener las ecuaciones de movimiento y obtener el espacio de fase.

El hamiltoniano lo podemos calcular mediante la transformada de Legendre, desarrollada para ejercicios anteriores:
$$H(p_y,y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}-mgy$$
Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema:
$$\dot{p_y}=-\frac{\partial H}{\partial y}$$
$$\dot{p_y}=mg$$
$$\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_y}$$
$$\dot{y}=\frac{p_y}{m}$$
De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial para la caída libre:
$$m\ddot{y}=mg$$
Dividimos por $m$ e igualamos a cero:
$$\ddot{y}-g=0$$
La solución para está ecuación diferencial es:

$$y(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+y_{0}$$

Luego hemos hallado la solución a nuestra ecuación de movimiento.

Ahora vamos a ver como se comporta el espacio de fase para nuestro problema, ya hemos visto anteriormente como obtener el momento en función de la coordenada, debido a que se conserva la energía.

$$p_{y}=\pm\sqrt{2m[E+mgy]}$$

Su espacio de fase es:

Donde cada una de las parábolas representa el movimiento de caída libre a diferentes energías en el espacio de fase.