¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un oscilador armónico en una dimensión?

Esta vez, veremos como es la forma de las ecuaciones de Hamilton, más su solución (de las ecuaciones de movimiento), y además veremos como es el espacio de fase para el resorte en su movimiento armónico.

Anteriormente vimos como calcular el hamiltoniano a partir del lagrangiano, lo único que debemos reconocer es el potencial y ya estamos listos para el siguiente resultado:
\[H(p_x,x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}\]
Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema:
\[\dot{p_x}=-\frac{\partial H}{\partial x}\]
\[\dot{p_x}=-kx\]
\[\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_x}\]
\[\dot{x}=\frac{p}{m}\]
De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional:
\[m\ddot{x}=-kx\]
Dividimos por $m$ e igualamos a cero:
\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\]
con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento:
\[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\]
La solución para está ecuación diferencial es:
\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]
Es interesante como desde el segundo resultado de las ecuaciones de Hamilton, vemos como se conserva el momento lineal.

Ahora es momento de graficar el espacio de fase, recordamos que al ser un sistema conservativo, el hamiltoniano toma el valor de la energía del sistema, y a partir de la forma del momento como función de las coordenadas:

\[p_{x}=\pm\sqrt{2m\left[E-\frac{1}{2}kx^{2}\right]}\]

y su correspondiente grafica es:

Las diferentes elipses mostradas en la gráfica representan el movimiento del resorte en el espacio de fases desde diferentes energías, si $E=\frac{1}{2}kx^{2}$, se representara como una constante sobre la coordenada x.