Hola, espero te encuentres bien
Esta vez hablaremos sobre ti, una partícula libre y Hamilton-Jacobi.
Tú eres una persona que tiene variedad de gustos, que quizá le gusta estar en redes sociales, o quizá te guste estar con tus amigos, o depronto puede que te guste la soledad, sin importar lo que te guste, estás acá conmigo, para poder aprender un poco más de física (en este caso física teórica), es posible que estés buscando información que estés buscando hace algún buen tiempo, y por razones del destino llegaste acá a este blog, u otra posibilidad es que ya conozcas desde hace algún tiempo el blog, y quieres aprender un poco más, o igualmente lo vas a necesitar para complementar tus clases, en cualquier caso, estás en el lugar correcto, porque acá te voy a guiar de la mano en este "oscuro" laberinto, que nos permite ver la maravilla de la naturaleza desde otro punto de vista.
Para qué utilizamos una partícula libre?, es probable que en muchos textos de física hayas visto cualquier cantidad de dibujos y representaciones de los fenómenos físicos, nunca nos dicen para qué, sólo nos dejan las representaciones artísticas, y desde mi experiencia te digo que la mayoría de libros que he consultado disminuyen su cantidad de estas, y sólo nos dan breves dibujos, y se repiten bastante, cómo es el caso de una partícula libre:
Pero no siempre debe ser así, de hecho podemos imaginar cualquier otro animal, objeto, etc... que pueda representar lo mismo que una partícula libre, por decir un cepillo de dientes:
En este punto pueden estar pensando, Pero que es eso?, que dibujo es?, para respuesta a sus dudas, les digo que es un cepillo, como los dibujaría yo, les confieso que me imagino una obra de arte, luego de dibujar el susodicho, me da pena ajena de lo que puedas pensar tú acerca de mi cepillo, puede que llegues a pensar que es un machete, o un artefacto extraño, pero es lo que callamos la mayoría de los profes de física (lo veo desde mi punto de vista), que no sabemos dibujar como nos imaginamos, sólo algunos que saben dominar esa arte a la perfección. Aún para sorpresa de muchos, compensamos esa falta de saber dibujar, con hacer física y es aquí donde decimos que con cualquier punto podemos representar cualquier objeto, que te imagines, (para evitar hacer dibujos de niño de 5 años), y resulta una muy buena opción, porque lo único que necesitamos en la mayoría de los casos son representaciones sencillas que nos permitan entender el problema (por eso no dibujamos bien bonito).
En esta tercera parte, te diré como breve resumen que Hamilton y Jacobi son dos personas diferentes que nos dejaron un gran legado en física, con su ecuación de Hamilton-Jacobi, en este caso podemos encontrar las soluciones a las diferentes alternativas que existen de las ecuaciones de Newton, cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange o las ecuaciones de Hamilton y partimos desde el hamiltoniano para una partícula libre (o cepillo libre):
\[H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}\]
Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi se puede expresar en términos de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, donde toda integral de movimiento (toda coordenada $q$, que no aparezca explicita en el hamiltoniano se conserva, y se le llama integral de movimiento), nos servirá para poder encontrar la solución con mayor facilidad
\[\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i},\frac{\partial S}{\partial q_{i}},t\right)=0\]
Cuando no hay dependencia explicita del tiempo, la acción se escribe como:
\[S(q_{i})=S_{0}-Et\]
Aplicamos la ecuación de Hamilton-Jacobi para nuestro hamiltoniano e igualamos a la energía (esto es porque el hamiltoniano en los sistemas conservativos también expresa la energía del sistema):
\[H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}=E\]
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=E\]
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2mE\]
Aplicamos separación de variables, que en este caso es bastante simple, dado que sólo tenemos una variable:
\[S_{0}=X(x)\]
Y nos quedara en términos de una ecuación diferencial ordinaria separable de primer orden:
\[\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2mE\]
Hallamos la función $X(x)$ mediante integración, como puedes ver a continuación:
\[\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2mE}\]
\[\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2mE} dx\]
\[\int dX(x)=\int \sqrt{2mE} dx\]
\[X(x)=\int \sqrt{2mE} dx\]
La acción toma la forma:
\[S(x)=X(x)-Et\]
Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi se puede expresar en términos de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, donde toda integral de movimiento (toda coordenada $q$, que no aparezca explicita en el hamiltoniano se conserva, y se le llama integral de movimiento), nos servirá para poder encontrar la solución con mayor facilidad
\[\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i},\frac{\partial S}{\partial q_{i}},t\right)=0\]
Cuando no hay dependencia explicita del tiempo, la acción se escribe como:
\[S(q_{i})=S_{0}-Et\]
Aplicamos la ecuación de Hamilton-Jacobi para nuestro hamiltoniano e igualamos a la energía (esto es porque el hamiltoniano en los sistemas conservativos también expresa la energía del sistema):
\[H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}=E\]
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=E\]
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2mE\]
Aplicamos separación de variables, que en este caso es bastante simple, dado que sólo tenemos una variable:
\[S_{0}=X(x)\]
Y nos quedara en términos de una ecuación diferencial ordinaria separable de primer orden:
\[\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2mE\]
Hallamos la función $X(x)$ mediante integración, como puedes ver a continuación:
\[\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2mE}\]
\[\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2mE} dx\]
\[\int dX(x)=\int \sqrt{2mE} dx\]
\[X(x)=\int \sqrt{2mE} dx\]
La acción toma la forma:
\[S(x)=X(x)-Et\]
Donde reemplazamos nuestro resultado para $X(x)$:
\[S(x)=\int \sqrt{2mE} dx-Et\]
Y está ultima se llama la integral completa. Derivamos parcialmente respecto a $x$
\[\frac{\partial S(x)}{\partial x}=p_{x}=\sqrt{2mE}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre (ya hemos visto anteriormente como es el espacio de fase para la partícula libre), ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integral, donde la función que deseamos obtener es $x(t)$:
\[\frac{\partial S(x)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2mE}}dx-t\]
\[\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2mE}}dx-t\]
Debido a la sencilla integral, obtenemos un resultado sencillo:
\[\beta_{E}=\frac{mx}{\sqrt{2mE}}-t\]
Despejamos $x$ de nuestra ultima ecuación:
\[\beta_{E}+t=\frac{mx}{\sqrt{2mE}}\]
\[\sqrt{2mE}(\beta_{E}+t)=mx\]
\[x(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}(\beta_{E}+t)\]
Que corresponde a la solución $x(t)$ para la partícula libre, ahora debemos encontrar las constantes $\beta_{E}$ y $E$
Nosotros sabemos que $E=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ de nuestra partícula libre, reemplazando este valor en nuestra ecuación de valor inicial:
\[x(t_{0})=x_0=\sqrt{\frac{2E}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\]
\[x_0=v_{0}(\beta_{E}+t_{0})\]
Luego $\beta_{E}=\frac{x_{0}}{v_{0}}-t_{0}$, reemplazando en $x(t)$:
\[x(t)=v_{0}\left(\frac{x_{0}}{v_{0}}-t_{0}+t\right)\]
Que podemos representar mejor de la siguiente forma:
\[x(t)=v_{0}(t-t_{0})+x_{0}\]
Cuando $t_0=0$ obtenemos la ecuación cinemática de una partícula en movimiento rectilíneo uniforme:
\[x(t)=v_{0}t+x_{0}\]
Cuando $t=t_{0}$:
\[x(t_{0})=x_{0}\]
Luego hemos hallado la solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada al problema.
\[S(x)=\int \sqrt{2mE} dx-Et\]
Y está ultima se llama la integral completa. Derivamos parcialmente respecto a $x$
\[\frac{\partial S(x)}{\partial x}=p_{x}=\sqrt{2mE}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre (ya hemos visto anteriormente como es el espacio de fase para la partícula libre), ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integral, donde la función que deseamos obtener es $x(t)$:
\[\frac{\partial S(x)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2mE}}dx-t\]
\[\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2mE}}dx-t\]
Debido a la sencilla integral, obtenemos un resultado sencillo:
\[\beta_{E}=\frac{mx}{\sqrt{2mE}}-t\]
Despejamos $x$ de nuestra ultima ecuación:
\[\beta_{E}+t=\frac{mx}{\sqrt{2mE}}\]
\[\sqrt{2mE}(\beta_{E}+t)=mx\]
\[x(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}(\beta_{E}+t)\]
Que corresponde a la solución $x(t)$ para la partícula libre, ahora debemos encontrar las constantes $\beta_{E}$ y $E$
Nosotros sabemos que $E=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ de nuestra partícula libre, reemplazando este valor en nuestra ecuación de valor inicial:
\[x(t_{0})=x_0=\sqrt{\frac{2E}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\]
\[x_0=v_{0}(\beta_{E}+t_{0})\]
Luego $\beta_{E}=\frac{x_{0}}{v_{0}}-t_{0}$, reemplazando en $x(t)$:
\[x(t)=v_{0}\left(\frac{x_{0}}{v_{0}}-t_{0}+t\right)\]
Que podemos representar mejor de la siguiente forma:
\[x(t)=v_{0}(t-t_{0})+x_{0}\]
Cuando $t_0=0$ obtenemos la ecuación cinemática de una partícula en movimiento rectilíneo uniforme:
\[x(t)=v_{0}t+x_{0}\]
Cuando $t=t_{0}$:
\[x(t_{0})=x_{0}\]
Luego hemos hallado la solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada al problema.
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