Solución Física

Puede que la pregunta suene un poco tonta para aquellos que han visto las publicaciones que he hecho, y que además saben del tema, y para algunos otros sea una ventana hacia el conocimiento, pues muchas veces vemos aplicado el formalismo de Hamilton-Jacobi a algunos problemas específicos que se proponen en los libros de Mecánica Clásica, Mecánica Teórica o Mecánica Analítica, pero no podemos culparlos; son problemas que pueden ser considerados fundamentales para hacer una transición a otras partes interesantes de la física, por ahora en este blog pretendo llenar esos vacíos respecto a aquellos ejercicios que desconocíamos por completo a los cuales se les puede aplicar estos interesantes formalismos, (O es posible que estén en algún libro). Nuestro sistema a resolver mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi es el siguiente: Un sistema de dos resortes con una masa  en paralelo con gravedad, los dos sistemas en las imágenes son equivalentes, y tienen la misma solución. Su hamiltonian...

Es hora de poner a prueba nuestro problema frente al formalismo de Hamilton-Jacobi: El hamiltoniano para este caso es: \[H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy=E\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: \[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] Así, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi que se obtienen del Hamiltoniano quedan de la forma: \[\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}y^{2}-mgy=...

Completamos nuestro desarrollo de soluciones aplicando el formalismo de Hamilton-Jacobi al problema de una masa con dos resortes: El hamiltoniano para este caso es: \[H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}=E\] Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): \[x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\] Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: \[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: \[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] Así, a partir del hamiltoniano aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, como se conserva la ener...

Finalmente en este problema con un poco más de dificultad vamos a aplicarle las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para obtener la integral completa, el momento en función de la coordenada (escribo en singular, porque aún estamos en una dimensión) y su respectiva ecuación integro-diferencial que al resolverla da la solución a nuestro problema. Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de acuerdo al procedimiento visto con potencial : \[\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E\] \[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E\] Despejamos los términos del parentesis: \[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\] Aplicamos separación de variables: \[S_{0}=Y(y)\] Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: \[\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\] Despejamos la función $Y(y)$: \[\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right...

Como vimos en publicaciones anteriores, me gusta dejar para lo último el método de Hamilton-Jacobi, porque a partir de la integral completa podemos obtener una ecuación integro-diferencial, para poder hallar la solución del problema, además de proporcionarnos el espacio de fase, y cumplir con todos los principios variacionales. Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a  nuestro hamiltoniano, tal como antes : \[\frac{p_{y}^{2}}{2m}-mgy=E\] \[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}-mgy=E\] Despejamos los términos del parentesis: \[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E+mgy\right)\] Aplicamos separación de variables: \[S_{0}=Y(y)\] Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: \[\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E+mgy\right)\] Despejamos la función $Y(y)$: \[\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E+mgy\right)}\] \[\int \frac{dY(y)}{dy}dy=\int \sqrt{2m\left(E+mgy\right)} dy\] \[\int dY(y)=\int \sqrt{2m...

Como me gusta dejar lo mejor para lo último, vamos a aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para el movimiento armónico del resorte: Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi tal cuál como vimos , de acuerdo al Hamiltoniano para nuestro problema: \[\frac{p_{x}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}=E\] \[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)+\frac{1}{2}kx^{2}=E\] Despejamos los términos del parentesis: \[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\] Aplicamos separación de variables: \[S_{0}=X(x)\] Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: \[\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\] Despejamos la función $X(x)$: \[\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}\] \[\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\] \[\int dX(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\] \[X(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)...

Y finalmente vamos a mostrar como es la ecuación integro-diferencial para la partícula con potencial mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi (Debes tener en cuenta que digo finalmente, porque desarrollo el problema de cuatro formas diferentes, y lo mejor siempre se deja para lo último): Como explicamos para el formalismo de Hamilton para una partícula con potencial, la energía del sistema está representada por el hamiltoniano : \[H(p_q,q)=\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E\] Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi: \[\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i},\frac{\partial S}{\partial q_{i}},t\right)=0\] Pero no hay dependencia explicita del tiempo, por lo tanto la escribiremos simplemente como: \[S(q_{i})=S_{0}-Et\] Ahora si aplicamos la ecuación de Hamilton-Jacobi para nuestro hamiltoniano, esto es colocar la derivada parcial $\frac{\partial S}{\partial q}$ en todo término donde esté presente el momento $p_q$ del sistema: \[\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E\] \[\frac{1}{2m}\left(\fra...

Para poder definir las coordenadas generalizadas debemos hablar de los grados de libertad que tiene un sistema y de las ligaduras, para finalmente dar una definición de coordenadas generalizadas. ¿Qué son los grados de libertad? Son todas aquellas coordenadas independientes que me permiten especificar completamente la posición de cada uno de los elementos que conforman el sistema (o la configuración del sistema) ¿Qué son las ligaduras? Las ligaduras son todas aquellas restricciones que impiden el movimiento en un sistema de partículas, luego si no existe ninguna restricción se dice que el sistema es libre, y tiene libertad de movimiento en el espacio; estas se suelen clasificar en reonomas, escleronomas, holónomas y no-holónomas principalmente. Luego las coordenadas generalizadas básicamente representan el conjunto de coordenadas que pueden describir mejor el problema y tienen implementadas las ligaduras de forma natural, y por lo tanto será el conjunto en las cuáles se represent...

Hola, espero te encuentres bien Esta vez hablaremos sobre ti, una partícula libre y Hamilton-Jacobi. Tú eres una persona que tiene variedad de gustos, que quizá le gusta estar en redes sociales, o quizá te guste estar con tus amigos, o depronto puede que te guste la soledad, sin importar lo que te guste, estás acá conmigo, para poder aprender un poco más de física (en este caso física teórica), es posible que estés buscando información que estés buscando hace algún buen tiempo, y por razones del destino llegaste acá a este blog, u otra posibilidad es que ya conozcas desde hace algún tiempo el blog, y quieres aprender un poco más, o igualmente lo vas a necesitar para complementar tus clases, en cualquier caso, estás en el lugar correcto, porque acá te voy a guiar de la mano en este "oscuro" laberinto, que nos permite ver la maravilla de la naturaleza desde otro punto de vista. Para qué utilizamos una partícula libre?, es probable que en muchos textos de física hayas visto cual...

Principio de relatividad (Transformaciones de Galileo) Siguiendo nuestro camino, en el día de hoy vamos a tener un marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto a otro. Nuestro esquema de los marcos de referencia es el siguiente: Donde el marco de referencia rojo se mueve con velocidad constante respecto al azul, y la distancia entre ambos se representa como: Acá $d$ representa la distancia, y surge la relación $d=vt$ que nos va a permitir definir las transformaciones de Galileo. Para el observador situado en el sistema en movimiento las transformaciones son de la forma: \[x'=x-vt\] Esta primera transformación nos muestra como el observador en el marco de referencia en movimiento (rojo) mide los efectos en el marco de referencia en reposo (azul), donde a la distancia que se encuentra el marco en reposo le restamos la distancia que se movió en un determinado tiempo. Para el observador situado en el sistema en reposo será: \[x=x'+vt'\] Lu...

PRINCIPIO DE RELATIVIDAD MARCO DE REFERENCIA Para entender el principio de relatividad, primero debemos entender que es un marco de referencia, y cuáles son sus clasificaciones (Sistema de referencia inercial y no inercial) Un marco de referencia, es cualquier lugar del espacio respecto del cuál realizamos una medida. Si nosotros consideramos nuestro marco de referencia desde la manzana roja, nosotros podemos medir todo lo que ocurra alrededor de ella, comúnmente el diagrama para representar un marco de referencia es un sistema coordenado cartesiano o rectangular: Donde el eje $x$ representa el ancho, el eje $y$ la altura y el eje $z$ la profundidad; como ejemplo vamos a colocar nuestro marco de referencia en la manzana roja, y en el centro de la misma, para poder ver, como se ajustan los ejes. Acercamos la imagen para poder ver mejor los ejes coordenados localizados: Donde está representado tres longitudes de nuestra manzana, el ancho, el alto y la profund...