Principio de relatividad 2

Principio de relatividad (Transformaciones de Galileo)

Siguiendo nuestro camino, en el día de hoy vamos a tener un marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto a otro.

Nuestro esquema de los marcos de referencia es el siguiente:

Donde el marco de referencia rojo se mueve con velocidad constante respecto al azul, y la distancia entre ambos se representa como:

Acá $d$ representa la distancia, y surge la relación $d=vt$ que nos va a permitir definir las transformaciones de Galileo.
Para el observador situado en el sistema en movimiento las transformaciones son de la forma:

$$x'=x-vt$$
Esta primera transformación nos muestra como el observador en el marco de referencia en movimiento (rojo) mide los efectos en el marco de referencia en reposo (azul), donde a la distancia que se encuentra el marco en reposo le restamos la distancia que se movió en un determinado tiempo. Para el observador situado en el sistema en reposo será:

$$x=x'+vt'$$
Luego también el marco de referencia en reposo (azul) mide los efectos en el marco de referencia con velocidad constante; entendemos para ambos observadores que $\pm vt$ quiere decir la distancia que se ha movido el marco de referencia en un tiempo determinado además que se puede alejar y/o acercar a velocidad constante. Para nuestro caso de las transformaciones de Galileo, el tiempo será ,absoluto y por lo tanto igual en todos los marcos de referencia.
$$t=t'$$
Para esto vamos a considerar los siguientes ejemplos:  

1.Vamos a comprobar que la segunda ley de Newton es valida para un sistema que se mueve con velocidad constante respecto a uno en reposo. En el marco en reposo se tiene:
$$F=F$$
$$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$
En el marco en movimiento se mide de la forma:
$$x'=x-vt$$
Realizamos los respectivos cálculos respecto al marco en movimiento:
$$F=F$$
$$m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}$$
$$m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=m\frac{d^{2}}{dt^{2}}(x-vt)$$

De acuerdo a la linealidad del operador diferencial:

$$m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-\frac{d^{2}(vt)}{dt^{2}}$$

Como $v$ es constante:
$$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}-v\frac{d^{2}t'}{dt^{2}}$$
Y la segunda derivada es cero, por lo tanto llegamos a la igualdad:
$$m\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$
Luego ambos marcos de referencia pueden medir la misma ley de Newton.
$$\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$
$$F'=F$$
Así vemos que las leyes de newton se cumplen estando en reposo o con movimiento uniforme respecto a un observador inercial.
Las transformaciones de Galileo nos ayudan a entender el principio de inercia que se puede enunciar de la siguiente manera:

Todo cuerpo libre de fuerzas puede estar en reposo o moviéndose con velocidad constante respecto a un observador estático.

Esto quiere decir que es imposible diferenciar si nos encontramos en un marco de referencia en reposo o con velocidad constante.
2.Ahora vamos a comprobar también que la fuerza de Hooke se cumple en ambos sistemas de referencia; en el marco en reposo tenemos:
$$F=F$$
$$-k(x_2-x_1)=-k(x_2-x_1)$$
En el marco en movimiento tenemos:
$$-k(x'_2-x'_1)=-k(x'_2-x'_1)$$

Aplicamos las transformaciones de Galileo:

$$-k(x'_2-x'_1)=-k((x_2-vt)-(x_1-vt))$$

$$-k(x'_2-x'_1)=-k(x_2-vt-x_1+vt)$$

$$-k(x'_2-x'_1)=-k(x_2-x_1)$$

Es así como en ambos sistemas de referencia (o marcos de referencia) las leyes de la naturaleza van a ser las mismas, sin importar en que marco inercial nos encontremos.