Tú, una partícula libre y Hamilton?

Hola, espero te encuentres bien

En esta ocasión vamos a hablar sobre ti, una partícula libre y Hamilton.

Empecemos, tú eres una persona muy especial, porque tienes gran capacidad de hacer todo aquello, que te propones realizar, como tus tareas de la U, o ser curioso con todo lo que te rodea, y pues me alegra tenerte aquí, en este camino de conocer un poco más los fundamentos del "cómo se hacen las cosas".

De segundas están las representaciones de los problemas, que normalmente encontramos puntos o partículas libres como la siguiente:

Pero no te preocupes, puede ser cualquier otro objeto que quieras, animal preferido, persona, objeto que te guste bastante, hasta puede ser un perro:

Acá en este punto es donde lo piensas dos veces, y crees que mis dibujos (o cómo la mayoría de dibujos de los profes de física), son bien feos, y no avanzaron más allá de los 5 años, de hecho te cuento que antes dibujaba a los perros con una nariz roja, porque tenia un perro así, y me parecía muy normal (hasta que me di cuenta, mucho después de la enfermedad que padecía mi mascota en ese tiempo), y acá es donde decimos que es mucho más fácil representar cualquier clase de objeto, animal o cosa que quieras con un punto, o una partícula, porque resulta bastante fácil de dibujar.

De terceras vamos a hablar de Hamilton, quien hizo grandes aportes a las matemáticas a través de los cuaterniones y en mecánica clásica, al formular sus ecuaciones, que son una alternativa a las de Newton, pero con la particularidad que introduce un espacio de fase, y nos permite analizar cuál es el comportamiento de los momentos generalizados y las coordenadas generalizadas presentes en el problema. 

Ahora te presento como calcular las ecuaciones del espacio de fase, que son bastante simples, y además como obtener nuevamente las ecuaciones del movimiento, y viene representado por el siguiente par de ecuaciones:

\[\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p_{q}}\qquad \dot{p_{q}}=-\frac{\partial H}{\partial q}\]

Ahora volvemos a tener dos preguntas, una de esas ya la resolvimos hallando la coordenada generalizada con las ecuaciones de Euler-Lagrange y la otra debe ser relacionada a $H$ que también es una función y depende de los momentos generalizados y sus coordenadas generalizadas, dicha función se llama Hamiltoniano:

\[H=H(p,q,t)\] 

La forma de hallar esta nueva función es mediante una transformación de Legendre:

\[H=\sum(p_{i}\dot{q_{i}}-L)\]

Acá $L$ es el lagrangiano relacionado a la partícula libre (o al perro libre) que en un post anterior (en ese caso tenemos un carro libre):

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\]

Para poder realizar esa transformación de Legendre debemos identificar los $p_{i}$ que están implícitos en las ecuaciones de Euler-Lagrange:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0\]

Donde los $\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$ representan los momentos generalizados $p_{i}$, el cuál es un elemento clave para obtener nuestras ecuaciones de movimiento.

Calculamos los $p_{i}$:

\[p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\]

Aquí el subíndice $i$, se refiere a nuestras coordenadas generalizadas, para nuestro caso es simplemente $x$:
\[p_{x}=\frac{\partial }{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)\]

\[p_{x}=m\dot{x}\]
Despejamos $\dot{x}$ del anterior resultado:
\[\dot{x}=\frac{p_{x}}{m}\]
Con los ultimos dos resultados procedemos a realizar nuestra transformación de Legendre para hallar el Hamiltoniano $H(p_{x},x)$ que necesitamos para nuestro problema:
\[H=\sum(p_{x}\dot{x}-L)\]
Debido que solo tenemos un elemento, este será de la forma:
\[H=p_{x}\dot{x}-L\]

De aquí en adelante vamos a hacer el reemplazo de los $\dot{x}$ con $\frac{p_{x}}{m}$, de acuerdo a nuestro despeje:
\[H=p_{x}\frac{p_{x}}{m}-L\]
\[H=\frac{p^{2}_{x}}{m}-\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\]
\[H=\frac{p^{2}_{x}}{m}-\frac{1}{2}m\left(\frac{p_{x}}{m}\right)^{2}\]
\[H=\frac{p^{2}_{x}}{m}-\frac{p^{2}_{x}}{2m}\]

Y hallamos finalmente  nuestro hamiltoniano para la partícula libre (o el perro libre):
\[H(p_{x},x)=\frac{p^{2}_{x}}{2m}\]

Ahora si podemos aplicar las ecuaciones de Hamilton:
La ecuación para $\dot{x}$ es:
\[\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_{x}}\]

Esto quiere decir que vamos a derivar parcialmente nuestro hamiltoniano respecto a $p_x$:
\[\dot{x}=\frac{\partial }{\partial p_{x}}\left(\frac{p^{2}_{x}}{2m}\right)\]
\[\dot{x}=\frac{p_{x}}{m}\]
Despejamos $p_{x}$ y obtenemos la forma del momento lineal para una partícula en movimiento libre:
\[m\dot{x}=p_{x}\]
La ecuación para $\dot{p_{x}}$ es:
\[\dot{p_{x}}=-\frac{\partial H}{\partial x}\]

En este caso derivamos parcialmente respecto a $x$:

\[\dot{p_{x}}=-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{p^{2}_{x}}{2m}\right)\]
\[\dot{p_{x}}=0\]

Luego como ninguna de las dos ecuaciones tiene dependencia explicita respecto a $x$, entonces es muy seguro que su espacio de fase sea una constante, como veremos más adelante.
Solucionamos la ecuación diferencial teniendo en cuenta que $\dot{p_{x}}=0$ que de acuerdo a nuestros resultados de las ecuaciones es lo mismo que $m\ddot{x}=0$ y tenemos:
\[x(t)=v_{0}t+x_{0}\]
Ahora obtenemos la ecuación que nos permite hacer las gráficas del espacio de fase, observamos atentamente que el hamiltoniano es igual a la energía del sistema, por lo tanto lo reescribimos cómo:

\[E=\frac{p^{2}_{x}}{2m}\]

Despejamos $p_{x}$ y obtenemos el comportamiento del espacio de fases de la componente espacial, respecto al momento:

\[p_{x}=\pm\sqrt{2mE}\]

Este resultado nos representa la relación que existe entre el momento lineal y en este caso la energía cinética de la partícula libre, representado en la siguiente gráfica:

Y este represente el espacio de fase para una partícula libre (o perro libre).

Si te ha gustado el contenido, no dudes en suscribirte, compartirlo en redes sociales con tus amigos, así más gente podrá conocer estos interesantes datos, y si quieres que dibuje algún otro objeto y que lo involucre en un problema físico, no dudes en dejarme tus comentarios.