Tú, una partícula libre y Euler-Lagrange?

Hola, espero te encuentres muy bien

Esta vez vamos a hablar sobre ti, una partícula libre y las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Empecemos por ti, eres una persona un tanto inquieta, que quiere ir un paso más allá de lo que normalmente te enseñan, o de lo que has leído en algún libro, y quieres entender mediante ejemplos sencillos, como entender la física, o eres una persona que necesita información concisa, para poder llevar a cabo tus trabajos en la U, y no encuentras información relevante, en fin, sin importar a que grupo pertenezcas, estás en el lugar correcto.

Continuemos con la partícula libre, normalmente en física se necesitan dibujitos para ver que clase de problema estamos solucionando, o en su defecto gráficas, sino tenemos ninguna de las dos anteriores, te puedo asegurar que sólo vas a necesitar cambiar los datos que te den en alguna formula en particular, esto sucede porque debemos empezar desde la imaginación, para poder aplicar todos los conceptos interesantes que encontramos en física, pero como empezamos con lo sencillo, he aquí una partícula libre:

Puede ser lo que tu quieras, no sólo un punto, puede ser un objeto, animal o cualquier cosa que te imagines, por decir un carro (o auto):

Es aquí, donde deduces que los dibujos más complejos para un profesor de física, le quedan bien feos, (a menos que dibuje bien, a ellos si cuídalos que son una especie en extinción) o como es nuestro caso, el carro es fácil de dibujar, porque en su mayor parte son rectángulos, rectas, y circulos, (de hecho si tú eres un buen observador vas a notar el error feo en las puertas, y la gran falta de detalles), pero si eres de mi grupo y no sabes dibujar, o tus dibujos son los mismos de cuando tenias 3 años, pues sólo nos queda utilizar la abstracción y utilizar un punto para representar cualquier objeto que se te ocurra, (pero si eres del grupo que sabe dibujar bien bonito, pues puedes impresionar a tus amigos, amigas de lo bien que dibujas, y puedes representar cualquier cantidad de fenómenos físicos), sea objetos, animales, etc.., así el punto, o la partícula tiene el poder de concedernos cualquier objeto, al alcance de los que no aprendimos a dibujar, y de los que dibujan muy bien, para ahorrarles tiempo, en sus obras de arte.

Bueno de Euler-Lagrange, pues son dos personas diferentes uno es Leonard Euler, quien hizo muchísimas contribuciones al campo de la física y las matemáticas en general, no sólo campos específicos de ellas, sino en general, (si me colocó a nombrar la cantidad de contribuciones que conozco, sería un post demasiado largo, ¡¡¡ahora imagínate de todas aquellas que aún desconozco!!!), y el otro es Joseph-Louis Lagrange, quien hizo increíbles aportes a la mecánica clásica, y de los dos se conocen una alternativa de obtener las ecuaciones del movimiento al método de Newton, llamada las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son de la forma:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{a}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{a}}=0\]

Quiza sea la primera vez que veamos estas ecuaciones, y en lo primero que nos fijemos sea en la función $L$ (sí es una función) se llama Lagrangiano o Lagrangiana que depende de las velocidades y coordenadas generalizadas (que es la coordenada por donde se realiza el movimiento); tal vez del tiempo, expresado del siguiente modo:

\[L=L(\dot{q},q,t)\]

Para hallar dicha función tenemos dos problemas por resolver, el primero es identificar la(s) coordenada(s) generalizada(s), y el segundo es hallar el lagrangiano, en primer lugar la coordenada generalizada puede ser cualquiera, en nuestro caso vamos a escoger la coordenada $x$ (la más conocida por todos), y para el segundo caso tenemos la siguiente forma de hallar el lagrangiano:
\[L=T-V\]
Donde $T$ es la energía cinética del sistema y $V$ es la energía potencial, en nuestro caso solo tenemos energía cinética de la forma:
\[T=\frac{1}{2}mv^{2}\]
Donde $v=\dot{x}$ que corresponde a la notación de Newton para representar las derivadas respecto al tiempo, así la energía cinética adopta la representación:
\[T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\]
Y el lagrangiano se reduce a la energía cinética de la partícula libre:
\[L=T\]
\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\]
Procedemos a reemplazar en las ecuaciones de Euler-Lagrange, aquí podemos diferenciar dos clases de derivadas, una que es total, y otra que es parcial, la primera se hace respecto de todos los parámetros que tengan dependencia con el tiempo, y el segundo solo se hace respecto a la variable de la cuál se hace la derivada parcial, el resto van a actuar como constantes, y esto nos va a permitir en un futuro obtener conjuntos de ecuaciones diferenciales, así que por ahora no nos preocupemos, colocamos nuestra enegía cinética, que en nuestro caso es el lagrangiano:
\[\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial }{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)\right]-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)=0\]

Y paso seguido será operar, en el primer término realizamos la derivada parcial con todo término que tenga de forma explicita $\dot{x}$, y en el segundo término con todo término que tenga de forma explicita $x$, como no está de forma explicita, luego la derivada parcial de una constante es cero $0$:
\[\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial }{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)\right]=0\]
\[\frac{d}{dt}\left[m\dot{x}\right]=0\]

Recordamos la notación de Newton, y para representar una segunda derivada del espacio respecto al tiempo añadimos un punto más, esto sólo se ve bonito si tenemos segundas derivadas respecto al tiempo (que es lo más común en física), pero no sería nada bonito tener una derivada 30va respecto al tiempo, porque deberiamos llenar de 30 puntos encima de la $x$, así tenemos nuestra ecuación del movimiento:
\[m\ddot{x}=0\]
Solucionamos la ecuación diferencial donde su solución representa el camino (o trayectoria) mas corta que puede recorrer una partícula (o carro) libre en el espacio.

\[x(t)=v_{0}t+x_{0}\]

Esta función $x(t)$ es la misma obtenida al aplicar las ecuaciones de Newton, como era de esperarse, y depronto pensaras, "todo este formalismo tan extraño, para obtener el mismo resultado, pues que chiste", pero recordemos que queremos explorar nuevas alternativas para obtener las ecuaciones del movimiento, y pues debemos empezar desde los ejemplos más obvios, para ir avanzando con mayor seguridad.

Con esta nueva forma de hallar ecuaciones diferenciales, es posible obtener la trayectoria más optima que siguen los cuerpos (o cualquier objeto que se te ocurra) en el espacio que se encuentren, como veremos más adelante.

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