¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema de dos resortes y una masa en una dimensión? (Resortes en serie)

Es el turno de aplicarle las ecuaciones de Euler-Lagrange a nuestra masa que realiza un movimiento armónico con dos resortes:

Cómo sólo consideramos movimiento horizontal, la coordenada generalizada corresponde a

$x$ , mas adelante se podran considerar problemas con más grados de libertad (Ahora empezamos con lo "sencillo")

El lagrangiano para este caso es:

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}-\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}$

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa

$m$ , y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

$x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

Y como la energía potencial para el resorte es

$V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando

$x^{2}=\frac{2V}{k}$ , reemplazamos en la expresión anterior:

$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$

$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$

Así, el lagrangiano queda de la forma:

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_{e}x^{2}$

Podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtener la solución de dicha ecuación diferencial análogo al oscilador armónico unidimensional:

$\ddot{x}+\frac{k_e}{m}x=0$

$x(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)$

Las constantes presentes en la solución tienen el mismo significado con el formalismo de Newton.

La solución también puede ser representada como:

$x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)$

Además es posible generalizar el resultado si tenemos

$n$ resortes en serie, así el lagrangiano y la solución toman la forma:

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}-\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}-\cdot\cdot\cdot-\frac{1}{2}k_nx_{n}^{2}$

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_n x_{n}^{2}$

$x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)$

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$y$ , ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma:

$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy$ Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa. \[...

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$y$ :

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