¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema de dos resortes y una masa en una dimensión? (Resortes en serie)

Es el turno de aplicarle las ecuaciones de Euler-Lagrange a nuestra masa que realiza un movimiento armónico con dos resortes:

Cómo sólo consideramos movimiento horizontal, la coordenada generalizada corresponde a $x$, mas adelante se podran considerar problemas con más grados de libertad (Ahora empezamos con lo "sencillo")

El lagrangiano para este caso es:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}-\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}\]

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

\[x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]

Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior:

\[\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}\]

\[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\]

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

\[k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\]

Así, el lagrangiano queda de la forma:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_{e}x^{2}\]

Podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtener la solución de dicha ecuación diferencial análogo al oscilador armónico unidimensional:

\[\ddot{x}+\frac{k_e}{m}x=0\]

\[x(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)\]

Las constantes presentes en la solución tienen el mismo significado con el formalismo de Newton.

La solución también puede ser representada como:

\[x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)\]

Además es posible generalizar el resultado si tenemos $n$ resortes en serie, así el lagrangiano y la solución toman la forma:

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}-\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}-\cdot\cdot\cdot-\frac{1}{2}k_nx_{n}^{2}\]

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_n x_{n}^{2}\]

\[x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)\]

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