¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un sistema de dos resortes y una masa con gravedad en el formalismo de Newton? (Resortes en serie)

Como me gusta complicar un poco más los problemas, ahora a los dos resortes vistos anteriormente, les vamos a agregar atracción gravitacional:

La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte:

\[\sum F_{y}: ma=-k_{1}y_{1}-k_{2}y_{2}\]

Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa $m$, los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia $y_T$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte:

\[y=y_1+y_2\]

Y de acuerdo a la ley de Hooke, $F=-ky$, es posible despejar la distancia recorrida $y=-\frac{F}{k}$, tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa:

\[-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}\]

\[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\]

Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente $k_{e}$ en términos de $k_1$ y $k_2$:

\[\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}\]

\[k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\]

así la suma de fuerzas en términos de la constante del resorte equivalente será:

\[\sum F_{y}: ma=-k_{e}y+mg\]

Podemos obtener una ecuación de movimiento y una solución análoga, al oscilador armónico unidimensional con gravedad:

\[\ddot{y}+\frac{k_e}{m}y=g\]

\[y(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)+\frac{g}{\omega_{e}^{2}}\]

Donde $A$ es la amplitud, $\omega_{e}=\sqrt{\frac{k_{e}}{m}}=\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}$ la frecuencia angular en términos de las constantes de los resortes, $t$ el tiempo, y $\phi$ el ángulo de fase.

La solución también puede ser representada como:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)+\frac{mg(k_1+k_2)}{k_{1}k_{2}}\]

Ahora realizamos la comparación de la gráfica de espacio vs tiempo ($x vs t$), para poder ver las diferencias:

Vamos a ver cuál es el cambio en la gráfica, en comparación con el el movimiento de un único resorte dejando fijo $k$ (gráfica color negro) y $k_2$, $k\neq k_2$ tenemos en cuenta tres casos:

1)$(k_1>k_2)<k$

2)$(k_1=k_2)\approx k$ (Acá no se sobrepone la curva si los valores de $k_1$ y $k_2$ igualan a $k$, esto es porque empieza desde un punto inicial mas cerca al origen que el resorte con constante $k$)

3)$(k_1<k_2)>k$

Además es posible generalizar el resultado si tenemos $n$ resortes en serie, así la solución toma la forma:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)+mg\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}\]

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