¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico con gravedad con el formalismo de Newton?

Es hora de complicar un poco más el problema, vamos a agregarle el peso a una masa colgando de un resorte que le va a proporcionar un movimiento armónico

Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en y:
\[\sum F_{y}:ma=-ky+mg\]
Donde el primer término al lado derecho de la igualdad corresponde a la fuerza de Hooke y el segundo al peso del cuerpo, $m$ es la masa del objeto atado al resorte, $k$ es la constante de elástica del resorte, el tpermino a la izquierda del igual nos proporciona el movimiento; a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional con gravedad:
\[ma=-ky+mg\]
La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo:
\[m\ddot{y}=-ky+mg\]
Pasamos a dividir por la masa e igualando a $g$ obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea:
\[\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g\]
con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento:
\[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\]
La solución para está ecuación diferencial es:
\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}\]
$A$ corresponde a la amplitud que está media en metros, $\omega$ es la frecuencia angular y está medida en radianes sobre segundo, $t$ medido en segundos y $\phi$ corresponde al angulo de fase.

Esta solución también se puede representar como:

\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}\]

El hecho de complicar un poco más el problema nos muestra la siguiente gráfica de la solución:

Debido a la solución, el término $\frac{mg}{k}$ es el que nos va a decir desde que punto el resorte va a iniciar su movimiento, esto es a una distancia donde el resorte se encuentra estirado dos metros y empieza a efectuar las oscilaciones entre $3m$ y $1m$, el ángulo de fase es $\phi\approx -\frac{\pi}{2}$

Comentarios

Entradas populares de este blog

¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema de dos resortes y una masa con gravedad? (Resortes en Paralelo)

Si has estado leyendo el blog, te has dado cuenta que vamos desarrollando problemas cada vez más complejos, aunque algunas veces estos se puedan reducir a problemas más sencillos, lo unico diferente que realizamos en estos ejercicios que tienen esa ventaja es presentar el lagrangiano del sistema, los puntos clave de la solución, así como una breve interpretación; en este caso tenemos dos resortes que sostienen una masa, con gravedad: Si te preguntas cuál es la coordenada generalizada para este problema, pues debemos recordar que es aquella por donde se realiza el movimiento, y el movimiento en ambos sistemas se realiza en el eje $y$, ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma: \[L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy\] Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa. \[...

¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un sistema de dos resortes y una masa con gravedad con el formalismo de Newton? (Resortes en paralelo)

Esta vez he decidido cambiar el orden de mostrar las publicaciones, pues como ya lo han visto (o en caso de no verlo los invito a que vean el orden de las publicaciones en el blog, de acuerdo a cada una de las formas de solucionar las ecuaciones del movimiento) que empiezo con un problema sin tener en cuenta la gravedad; y después introducimos la gravedad, para poder ver los resultados que cambian. Ahora si nos dirigimos a nuestro problema que consiste de dos resortes en paralelo que sostienen a una masa, aunque podemos ver dos casos análogos, que tienen la misma solución: Aunque es más claro los resortes en paralelo en el esquema a nuestra derecha, aplicara las mismas ecuaciones de movimiento para la configuración de la izquierda. Es momento de obtener la suma de fuerzas que actúan sobre la masa en el eje $y$: \[\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg\] Pero a diferencia del problema en serie acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es: \[F=F_1+F_2\] Esto la hacemos para...

¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un oscilador armónico en una dimensión?

Esta vez, veremos como es la forma de las ecuaciones de Hamilton, más su solución (de las ecuaciones de movimiento), y además veremos como es el espacio de fase para el resorte en su movimiento armónico. Anteriormente vimos como calcular el hamiltoniano a partir del lagrangiano, lo único que debemos reconocer es el potencial y ya estamos listos para el siguiente resultado: \[H(p_x,x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}\] Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema: \[\dot{p_x}=-\frac{\partial H}{\partial x}\] \[\dot{p_x}=-kx\] \[\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_x}\] \[\dot{x}=\frac{p}{m}\] De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional: \[m\ddot{x}=-kx\] Dividimos por $m$ e igualamos a cero: \[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\] con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento: \[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\] La solución para está ecuación dife...

Solución Física

Buscar este blog