¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico con gravedad con el formalismo de Newton?

Es hora de complicar un poco más el problema, vamos a agregarle el peso a una masa colgando de un resorte que le va a proporcionar un movimiento armónico

Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en y:
\[\sum F_{y}:ma=-ky+mg\]
Donde el primer término al lado derecho de la igualdad corresponde a la fuerza de Hooke y el segundo al peso del cuerpo, $m$ es la masa del objeto atado al resorte, $k$ es la constante de elástica del resorte, el tpermino a la izquierda del igual nos proporciona el movimiento; a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional con gravedad:
\[ma=-ky+mg\]
La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo:
\[m\ddot{y}=-ky+mg\]
Pasamos a dividir por la masa e igualando a $g$ obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea:
\[\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g\]
con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento:
\[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\]
La solución para está ecuación diferencial es:
\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}\]
$A$ corresponde a la amplitud que está media en metros, $\omega$ es la frecuencia angular y está medida en radianes sobre segundo, $t$ medido en segundos y $\phi$ corresponde al angulo de fase.

Esta solución también se puede representar como:

\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}\]

El hecho de complicar un poco más el problema nos muestra la siguiente gráfica de la solución:

Debido a la solución, el término $\frac{mg}{k}$ es el que nos va a decir desde que punto el resorte va a iniciar su movimiento, esto es a una distancia donde el resorte se encuentra estirado dos metros y empieza a efectuar las oscilaciones entre $3m$ y $1m$, el ángulo de fase es $\phi\approx -\frac{\pi}{2}$