¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico con gravedad con el formalismo de Newton?

Es hora de complicar un poco más el problema, vamos a agregarle el peso a una masa colgando de un resorte que le va a proporcionar un movimiento armónico

Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en y:

$\sum F_{y}:ma=-ky+mg$
Donde el primer término al lado derecho de la igualdad corresponde a la fuerza de Hooke y el segundo al peso del cuerpo,

$m$ es la masa del objeto atado al resorte,

$k$ es la constante de elástica del resorte, el tpermino a la izquierda del igual nos proporciona el movimiento; a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional con gravedad:

$ma=-ky+mg$
La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo:

$m\ddot{y}=-ky+mg$
Pasamos a dividir por la masa e igualando a

$g$ obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea:

$\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g$
con

$\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)

$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento:

$\ddot{y}+\omega^{2}y=g$
La solución para está ecuación diferencial es:

$y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}$

$A$ corresponde a la amplitud que está media en metros,

$\omega$ es la frecuencia angular y está medida en radianes sobre segundo,

$t$ medido en segundos y

$\phi$ corresponde al angulo de fase.

Esta solución también se puede representar como:

$y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}$

El hecho de complicar un poco más el problema nos muestra la siguiente gráfica de la solución:

Debido a la solución, el término

$\frac{mg}{k}$ es el que nos va a decir desde que punto el resorte va a iniciar su movimiento, esto es a una distancia donde el resorte se encuentra estirado dos metros y empieza a efectuar las oscilaciones entre

$3m$ y

$1m$ , el ángulo de fase es

$\phi\approx -\frac{\pi}{2}$

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$y$ , ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma:

$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy$ Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa. \[...

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$y$ :

$\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg$ Pero a diferencia del problema en serie acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es:

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