¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un oscilador armónico con gravedad en una dimensión?

Esta vez veremos las ecuaciones de movimiento con el formalismo de Hamilton, y su respectivo espacio de fase que será comparado con el espacio de fase para el caso sin gravedad.

El hamiltoniano se obtiene siguiendo el mismo procedimiento mediante una transformación de Legendre:
\[H(p_y,y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy\]
Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema:
\[\dot{p_y}=-\frac{\partial H}{\partial y}\]
\[\dot{p_y}=-ky+mg\]
\[\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_x}\]
\[\dot{y}=\frac{p_y}{m}\]
De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional:
\[m\ddot{y}=-ky+mg\]
Dividimos por $m$ e igualamos a cero:
\[\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g\]
con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento:
\[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\]
La solución para está ecuación diferencial es:
\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}\]

Por lo  tanto la solución se puede presentar también como:

\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}\]
Ahora podemos ver como es el espacio de fase para nuestro problema, en ocasiones anteriores hemos obtenido el momento como función de la coordenada de acuerdo al caso con potencial:

\[p_y=\pm\sqrt{2m\left[E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right]}\]

Cada elipse corresponde a un nivel de energía diferente, aunque si $E=mgy$, tendremos unas trayectorias en el espacio de fase similares a las de caída libre, también podremos comparar la diferencia que existen entre los diagramas de fase para el resorte sin gravedad con el correspondiente a este caso.