¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un oscilador armónico con gravedad en una dimensión?
Esta vez veremos las ecuaciones de movimiento con el formalismo de Hamilton, y su respectivo espacio de fase que será comparado con el espacio de fase para el caso sin gravedad.
El hamiltoniano se obtiene siguiendo el mismo procedimiento mediante una transformación de Legendre:
H(py,y)=p2y2m+12ky2−mgy
Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema:
˙py=−∂H∂y
˙py=−ky+mg
˙y=∂H∂px
˙y=pym
De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional:
m¨y=−ky+mg
Dividimos por m e igualamos a cero:
¨y+kmy=g
con km=ω2 (frecuencia angular)2 y llegamos a la ecuación del movimiento:
¨y+ω2y=g
La solución para está ecuación diferencial es:
y(t)=Asen(ωt+ϕ)+gω2
H(py,y)=p2y2m+12ky2−mgy
Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema:
˙py=−∂H∂y
˙py=−ky+mg
˙y=∂H∂px
˙y=pym
De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional:
m¨y=−ky+mg
Dividimos por m e igualamos a cero:
¨y+kmy=g
con km=ω2 (frecuencia angular)2 y llegamos a la ecuación del movimiento:
¨y+ω2y=g
La solución para está ecuación diferencial es:
y(t)=Asen(ωt+ϕ)+gω2
Por lo tanto la solución se puede presentar también como:
y(t)=Asen(ωt+ϕ)+mgk
Ahora podemos ver como es el espacio de fase para nuestro problema, en ocasiones anteriores hemos obtenido el momento como función de la coordenada de acuerdo al caso con potencial:
Ahora podemos ver como es el espacio de fase para nuestro problema, en ocasiones anteriores hemos obtenido el momento como función de la coordenada de acuerdo al caso con potencial:
py=±√2m[E+mgy−12ky2]
Cada elipse corresponde a un nivel de energía diferente, aunque si E=mgy, tendremos unas trayectorias en el espacio de fase similares a las de caída libre, también podremos comparar la diferencia que existen entre los diagramas de fase para el resorte sin gravedad con el correspondiente a este caso.
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