Ir al contenido principal

¿Es posible aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi a un oscilador armónico con gravedad en una dimensión?

Finalmente en este problema con un poco más de dificultad vamos a aplicarle las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para obtener la integral completa, el momento en función de la coordenada (escribo en singular, porque aún estamos en una dimensión) y su respectiva ecuación integro-diferencial que al resolverla da la solución a nuestro problema.


Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de acuerdo al procedimiento visto con potencial:
\[\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E\]
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E\]
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\]
Aplicamos separación de variables:
\[S_{0}=Y(y)\]
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
\[\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\]
Despejamos la función $Y(y)$:
\[\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)}\]
\[\int \frac{dY(y)}{dy}dy=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy\]
\[\int dY(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy\]
\[Y(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy\]
La acción toma la forma:
\[S(y)=Y(y)-Et\]
La integral completa será:
\[S(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy-Et\]
Derivamos parcialmente respecto a $y$
\[\frac{\partial S(y)}{\partial y}=p_{y}=\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial (aún en una dimensión nuestro integral puede tornarse un poco complicada de resolver, más abajo muestro como pueden resolver esta integral):
\[\frac{\partial S(y)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)}}dy-t\]
Sacando factor común de la energía en la raíz cuadrada es posible escribir:
\[\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}\]
La respuesta a esta integral es:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\frac{ky-mg}{\sqrt{m^{2}g^{2}+2Ek}}\right)\]
Despejamos $y$:
\[\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\frac{ky-mg}{\sqrt{m^{2}g^{2}+2Ek}}\right)\]
\[y(t)=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)+\frac{mg}{k}\]
Proponemos condiciones iniciales para hallar las dos constantes $\beta_{E}$, $E$:
\[y(t_{0})=y_{0}\quad v(t_{0})=v_{0}\]
Sacamos la derivada para poder tener un sistema de dos ecuaciones para ambas constantes que vamos a hallar:
\[v(t)=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
\[v(t)=\sqrt{\frac{mg^{2}}{k}+\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)\]
Aplicamos las condiciones iniciales y tenemos el sistema de ecuaciones:
\[y_0=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)+\frac{mg}{k}\]
\[v_{0}=\sqrt{\frac{mg^{2}}{k}+\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)\]
Notamos que sí $y_0=\sqrt{\frac{k}{m}}v_{0}+\frac{mg}{k}$ podemos igualar:
\[\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)\]
\[sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)\]
\[\beta_{E}=\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}\]
Reemplazamos este valor en $y_{0}$ y podemos hallar el valor de $E$:
\[y_0=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t_0\right)\right)+\frac{mg}{k}\]
\[E=k\left(y_{0}-\frac{mg}{k}\right)^{2}-\frac{k}{2}\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}\]
\[E=ky_{0}^{2}-2mgy_{0}+\frac{1}{2}\frac{(mg)^{2}}{k}\]
Si reemplazamos estos resultados en nuestra solución $y(t)$ encontramos finalmente la siguiente solución:
\[y(t)=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg}{k}\right)sen\left(\omega(t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{mg}{k}\]
Es sorprendente como el método de Hamilton-Jacobi nos presenta cuál es la amplitud para este problema $A=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg}{k}\right)$ y el ángulo de fase $\phi=\frac{\pi}{4}$ en comparación a la ecuación diferencial obtenida con los otros métodos que expongo en el blog.




Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

¿Cómo son las ecuaciones de movimiento para un sistema de dos resortes y una masa con el formalismo de Newton? (Resortes en serie)

Aunque este problema pueda parecer complicado, mostrare como reducirlo a uno más sencillo que ya hemos desarrollado en ocasiones anteriores La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte: \[\sum F_{x}: ma=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}\] Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa $m$, los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia $x$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte: \[x=x_1+x_2\] Y de acuerdo a la ley de Hooke, $F=-kx$, es posible despejar la distancia recorrida $x=-\frac{F}{k}$, tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa: \[-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}\] \[\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\] Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente $k_{e}$ en términos de $k_1$ y $k_2$: \[\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}\] \[k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\] así la suma ...
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo son las ecuaciones del movimiento para un resorte en paralelo con el formalismo de Newton?

La idea de mostrar primero, un sistema de dos resorte con gravedad como en la publicación anterior, es para visualizar mejor, como sería un sistema de dos resortes en paralelo (sin gravedad), y que se mueve a través del eje horizontal: Ahora sí podemos formular nuestra suma de fuerzas que actúan sobre la masa: \[\sum F_x: ma=-k_1x_1-k_2x_2\] Comparando con el problema en serie  la fuerza total es igual a la suma de las fuerzas: \[F=F_1+F_2\] Pero $F=-kx$: \[-kx=-k_1x_1-k_2x_2\] Pero como la distancia recorrida es la misma, tenemos el valor de la constante del resorte equivalente: \[k=k_1+k_2\] Es así como la sumatoria de fuerzas en términos de la constante del resorte equivalente, queda de la forma: \[\sum F_x: ma=-kx\] Que corresponde a la ya solucionada ecuación diferencial del oscilador armónico en una dimensión : \[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\] \[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\] Con $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$. Aunque la solución tenga el mismo procedimiento, y aparentemente la mi...
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un oscilador armónico en una dimensión?

Esta vez, veremos como es la forma de las ecuaciones de Hamilton, más su solución (de las ecuaciones de movimiento), y además veremos como es el espacio de fase para el resorte en su movimiento armónico. Anteriormente vimos como calcular el hamiltoniano a partir del lagrangiano, lo único que debemos reconocer es el potencial y ya estamos listos para el siguiente resultado: \[H(p_x,x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}\] Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema: \[\dot{p_x}=-\frac{\partial H}{\partial x}\] \[\dot{p_x}=-kx\] \[\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_x}\] \[\dot{x}=\frac{p}{m}\] De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional: \[m\ddot{x}=-kx\] Dividimos por $m$ e igualamos a cero: \[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\] con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento: \[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\] La solución para está  ecuación dife...
1 comentario
Leer más