¿Es posible aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi a un oscilador armónico con gravedad en una dimensión?

Finalmente en este problema con un poco más de dificultad vamos a aplicarle las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para obtener la integral completa, el momento en función de la coordenada (escribo en singular, porque aún estamos en una dimensión) y su respectiva ecuación integro-diferencial que al resolverla da la solución a nuestro problema.

Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de acuerdo al procedimiento visto con potencial:
$$\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$
$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$
Despejamos los términos del parentesis:
$$\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)$$
Aplicamos separación de variables:
$$S_{0}=Y(y)$$
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
$$\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)$$
Despejamos la función $Y(y)$:
$$\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)}$$
$$\int \frac{dY(y)}{dy}dy=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy$$
$$\int dY(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy$$
$$Y(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy$$
La acción toma la forma:
$$S(y)=Y(y)-Et$$
La integral completa será:
$$S(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)} dy-Et$$
Derivamos parcialmente respecto a $y$
$$\frac{\partial S(y)}{\partial y}=p_{y}=\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)}$$
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial (aún en una dimensión nuestro integral puede tornarse un poco complicada de resolver, más abajo muestro como pueden resolver esta integral):
$$\frac{\partial S(y)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}ky^{2}\right)}}dy-t$$

Sacando factor común de la energía en la raíz cuadrada es posible escribir:
$$\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}$$
La respuesta a esta integral es:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\frac{ky-mg}{\sqrt{m^{2}g^{2}+2Ek}}\right)$$
Despejamos $y$:
$$\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\frac{ky-mg}{\sqrt{m^{2}g^{2}+2Ek}}\right)$$
$$y(t)=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)+\frac{mg}{k}$$
Proponemos condiciones iniciales para hallar las dos constantes $\beta_{E}$, $E$:
$$y(t_{0})=y_{0}\quad v(t_{0})=v_{0}$$
Sacamos la derivada para poder tener un sistema de dos ecuaciones para ambas constantes que vamos a hallar:
$$v(t)=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)$$
$$v(t)=\sqrt{\frac{mg^{2}}{k}+\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)$$

Aplicamos las condiciones iniciales y tenemos el sistema de ecuaciones:
$$y_0=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)+\frac{mg}{k}$$
$$v_{0}=\sqrt{\frac{mg^{2}}{k}+\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)$$

Notamos que sí $y_0=\sqrt{\frac{k}{m}}v_{0}+\frac{mg}{k}$ podemos igualar:

$$\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)$$

$$sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_0)\right)$$

Obtenemos la misma forma para la constante $\beta_{E}$ en el oscilador armónico unidimensional:

$$\beta_{E}=\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}$$

Reemplazamos este valor en $y_{0}$ y podemos hallar el valor de $E$:

$$y_0=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t_0\right)\right)+\frac{mg}{k}$$

$$E=k\left(y_{0}-\frac{mg}{k}\right)^{2}-\frac{k}{2}\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}$$

$$E=ky_{0}^{2}-2mgy_{0}+\frac{1}{2}\frac{(mg)^{2}}{k}$$

Si reemplazamos estos resultados en nuestra solución $y(t)$ encontramos finalmente la siguiente solución:

$$y(t)=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg}{k}\right)sen\left(\omega(t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{mg}{k}$$

Es sorprendente como el método de Hamilton-Jacobi nos presenta cuál es la amplitud para este problema $A=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg}{k}\right)$ y el ángulo de fase $\phi=\frac{\pi}{4}$ en comparación a la ecuación diferencial obtenida con los otros métodos que expongo en el blog.