¿Es posible aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi al oscilador armónico en una dimensión?

Como me gusta dejar lo mejor para lo último, vamos a aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para el movimiento armónico del resorte:

Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi tal cuál como vimos, de acuerdo al Hamiltoniano para nuestro problema:

$$\frac{p_{x}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}=E$$

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)+\frac{1}{2}kx^{2}=E$$
Despejamos los términos del parentesis:
$$\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)$$
Aplicamos separación de variables:
$$S_{0}=X(x)$$
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
$$\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)$$
Despejamos la función $X(x)$:
$$\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}$$
$$\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx$$
$$\int dX(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx$$
$$X(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx$$
La acción toma la forma:
$$S(x)=X(x)-Et$$
La integral completa será:
$$S(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx-Et$$
Derivamos parcialmente respecto a $x$
$$\frac{\partial S(x)}{\partial x}=p_{x}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}$$
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre, de la que ya obtuvimos el espacio de fase correspondiente, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial:
$$\frac{\partial S(x)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}}dx-t$$
$$\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}}dx-t$$

Está integral sacando factor común, es posible representarla como:

$$\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}$$
La respuesta a esta integral es:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)$$
Despejamos $x$:
$$\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)$$
$$x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)$$
Proponemos condiciones iniciales para hallar las dos constantes $\beta_{E}$, $E$:
$$x(t_{0})=x_{0}\quad v(t_{0})=v_{0}$$
Sacamos la derivada para poder tener un sistema de dos ecuaciones para ambas constantes que vamos a hallar:
$$v(t)=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)$$
$$v(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)$$
Aplicamos las condiciones iniciales y tenemos el sistema de ecuaciones:
$$x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)$$
$$v_{0}=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)$$
Notamos que sí $\sqrt{\frac{m}{k}}x_{0}=v_{0}$
Así que podemos igualar:
$$\sqrt{\frac{2E}{m}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)$$
$$sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)$$
Recordando que $cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=sen(x)$, podemos escribir la anterior expresión así:
$$cos\left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)$$
Si aplicamos arcoseno a ambos lados,
$$\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})=\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})$$
Despejamos $\beta_{E}$:
$$\beta_{E}=\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}$$
Reemplazamos este valor en la ecuación de $x_{0}$, y podemos obtener el valor de $E$:
$$x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t_{0}\right)\right)$$
$$E=kx_{0}^{2}$$
Si reemplazamos estos resultados en nuestra solución $x(t)$, encontramos finalmente la siguiente solución:
$$x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t\right)\right)$$
Que podemos representar mejor como:
$$x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)$$
Donde $\frac{k}{m}=\omega^{2}$, luego la solución es:
$$x(t)=x_{0}sen\left(\omega (t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)$$
A partir de encontrar las constantes que se obtienen por este método, es posible representarlas en términos de las posiciones y velocidades iniciales, de acuerdo a como evoluciona el sistema físico, con la amplitud igual a la distancia inicial donde empieza el movimiento $x_0$ y el ángulo de fase igual a $\frac{pi}{4}$, eso si es un ángulo inicial.