Como me gusta dejar lo mejor para lo último, vamos a aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para el movimiento armónico del resorte:
Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi tal cuál como vimos, de acuerdo al Hamiltoniano para nuestro problema:
\[\frac{p_{x}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}=E\]
\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)+\frac{1}{2}kx^{2}=E\]
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\]
Aplicamos separación de variables:
\[S_{0}=X(x)\]
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
\[\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\]
Despejamos la función $X(x)$:
\[\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}\]
\[\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\]
\[\int dX(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\]
\[X(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\]
La acción toma la forma:
\[S(x)=X(x)-Et\]
La integral completa será:
\[S(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx-Et\]
Derivamos parcialmente respecto a $x$
\[\frac{\partial S(x)}{\partial x}=p_{x}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre, de la que ya obtuvimos el espacio de fase correspondiente, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial:
\[\frac{\partial S(x)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}}dx-t\]
\[\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}}dx-t\]
La respuesta a esta integral es:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)\]
Despejamos $x$:
\[\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)\]
\[x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
Proponemos condiciones iniciales para hallar las dos constantes $\beta_{E}$, $E$:
\[x(t_{0})=x_{0}\quad v(t_{0})=v_{0}\]
Sacamos la derivada para poder tener un sistema de dos ecuaciones para ambas constantes que vamos a hallar:
\[v(t)=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
\[v(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
Aplicamos las condiciones iniciales y tenemos el sistema de ecuaciones:
\[x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
\[v_{0}=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
Notamos que sí $\sqrt{\frac{m}{k}}x_{0}=v_{0}$
Así que podemos igualar:
\[\sqrt{\frac{2E}{m}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
\[sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
Recordando que $cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=sen(x)$, podemos escribir la anterior expresión así:
\[cos\left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
Si aplicamos arcoseno a ambos lados,
\[\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})=\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\]
Despejamos $\beta_{E}$:
\[\beta_{E}=\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}\]
Reemplazamos este valor en la ecuación de $x_{0}$, y podemos obtener el valor de $E$:
\[x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t_{0}\right)\right)\]
\[E=kx_{0}^{2}\]
Si reemplazamos estos resultados en nuestra solución $x(t)$, encontramos finalmente la siguiente solución:
\[x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t\right)\right)\]
Que podemos representar mejor como:
\[x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)\]
Donde $\frac{k}{m}=\omega^{2}$, luego la solución es:
\[x(t)=x_{0}sen\left(\omega (t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)\]
A partir de encontrar las constantes que se obtienen por este método, es posible representarlas en términos de las posiciones y velocidades iniciales, de acuerdo a como evoluciona el sistema físico, con la amplitud igual a la distancia inicial donde empieza el movimiento $x_0$ y el ángulo de fase igual a $\frac{pi}{4}$, eso si es un ángulo inicial.
Despejamos los términos del parentesis:
\[\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\]
Aplicamos separación de variables:
\[S_{0}=X(x)\]
Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden:
\[\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\]
Despejamos la función $X(x)$:
\[\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}\]
\[\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\]
\[\int dX(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\]
\[X(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx\]
La acción toma la forma:
\[S(x)=X(x)-Et\]
La integral completa será:
\[S(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx-Et\]
Derivamos parcialmente respecto a $x$
\[\frac{\partial S(x)}{\partial x}=p_{x}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}\]
Corresponde al momento en función de la energía para la partícula libre, de la que ya obtuvimos el espacio de fase correspondiente, ahora derivamos parcialmente respecto a la energía $E$ y obtenemos la ecuación integro-diferencial:
\[\frac{\partial S(x)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{2m}{2\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}}dx-t\]
\[\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}}dx-t\]
Está integral sacando factor común, es posible representarla como:
\[\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\]La respuesta a esta integral es:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)\]
Despejamos $x$:
\[\beta_{E}+t=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)\]
\[x(t)=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
Proponemos condiciones iniciales para hallar las dos constantes $\beta_{E}$, $E$:
\[x(t_{0})=x_{0}\quad v(t_{0})=v_{0}\]
Sacamos la derivada para poder tener un sistema de dos ecuaciones para ambas constantes que vamos a hallar:
\[v(t)=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\frac{2E}{k}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
\[v(t)=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t)\right)\]
Aplicamos las condiciones iniciales y tenemos el sistema de ecuaciones:
\[x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
\[v_{0}=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
Notamos que sí $\sqrt{\frac{m}{k}}x_{0}=v_{0}$
Así que podemos igualar:
\[\sqrt{\frac{2E}{m}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=\sqrt{\frac{2E}{m}}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
\[sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
Recordando que $cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=sen(x)$, podemos escribir la anterior expresión así:
\[cos\left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)=cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\right)\]
Si aplicamos arcoseno a ambos lados,
\[\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})=\sqrt{\frac{k}{m}}(\beta_{E}+t_{0})\]
Despejamos $\beta_{E}$:
\[\beta_{E}=\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}\]
Reemplazamos este valor en la ecuación de $x_{0}$, y podemos obtener el valor de $E$:
\[x_{0}=\sqrt{\frac{2E}{k}}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t_{0}\right)\right)\]
\[E=kx_{0}^{2}\]
Si reemplazamos estos resultados en nuestra solución $x(t)$, encontramos finalmente la siguiente solución:
\[x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{4}-t_{0}+t\right)\right)\]
Que podemos representar mejor como:
\[x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)\]
Donde $\frac{k}{m}=\omega^{2}$, luego la solución es:
\[x(t)=x_{0}sen\left(\omega (t-t_{0})+\frac{\pi}{4}\right)\]
A partir de encontrar las constantes que se obtienen por este método, es posible representarlas en términos de las posiciones y velocidades iniciales, de acuerdo a como evoluciona el sistema físico, con la amplitud igual a la distancia inicial donde empieza el movimiento $x_0$ y el ángulo de fase igual a $\frac{pi}{4}$, eso si es un ángulo inicial.
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