¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un oscilador armónico en una dimensión?

Continuemos ahora con nuestro resorte para poder aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, para obtener las ecuaciones de movimiento, y la trayectoria más óptima que puede seguir en una dimensión.

La coordenada generalizada para nuestro problema es aquella por donde se efectúa el movimiento, que corresponde al eje $x$, y ahora si podemos expresar el lagrangiano:

La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=\frac{1}{2}kx^{2}$

$$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$
Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange, podemos ver que en este caso no se van a hacer cero ninguna de las derivadas parciales respecto al lagrangiano:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}\right)$$
$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})+kx=0$$
$$m\ddot{x}+kx=0$$
Que si dividimos por $m$, llegamos a la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional:
$$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$
$$\ddot{x}+\omega^{2}x=0$$
La solución para está ecuación diferencial es:
$$x(t)=Asen(\omega t+\phi)$$
La solución corresponde efectivamente a la trayectoria que menos energía necesita para poderse efectuar, y cumple con las mismas condiciones que vimos con el formalismo de Newton.