¿Cómo son las ecuaciones de movimiento de una partícula en caída libre con el formalismo de Newton?

Sigamos con problemas sencillos, para poder aprender primero desde un clásico problema, que vimos muchas veces en el colegio.

Como es un movimiento en una sola dimensión vamos a tener la siguiente suma de las fuerzas en

$y$ :

$\sum F_{y}: ma=mg$
Procedemos a encontrar la ecuación del movimiento, y es la siguiente:

$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=g$
La sencilla ecuación diferencial se puede resolver por separación de variables y como resultado tenemos:

$y(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+y_{0}$
Que corresponde a la ecuación de un movimiento acelerado en presencia de la gravedad.

Y está es su gráfica:

Podemos observar tres casos, la recta nos muestra el movimiento sin gravedad, que ya habíamos visto con la partícula libre, la curva roja (parábola positiva)corresponde a nuestro caso donde la partícula a medida que aumenta el tiempo, recorre mas distancia (no confundirse con la trayectoria que sigue en el espacio, que claramente es hacia el centro de la tierra), y por último la curva negra (parábola negativa) corresponde a un cuerpo que sube con una aceleración igual a

$g$ en magnitud, llega hasta un punto donde no hay aceleración, que corresponde al vértice de la curva y de ahí vuelve a retroceder la masa, y tal vez recorrer más distancia en más tiempo (todo depende de cuál sea el lugar donde lancemos la masa en dirección contraria a la gravedad).

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$y$ , ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma:

$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy$ Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa. \[...

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$y$ :

$\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg$ Pero a diferencia del problema en serie acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es:

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$H(p_y,y)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}-mgy$ Este hamiltoniano aunque es igual al caso en serie , por el sólo hecho de estar los resortes dispuestos en paralelo, nos da una solución diferente. Como las energías en los resortes que actúan sobre la masa son iguales:

$V=V_1+V_2$ Para que se cumpla esta ...

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