¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un sistema de dos resortes con una masa con gravedad? (Resortes en paralelo)

 Aunque los problemas que surgen al analizar el movimiento en una dimensión, para aquellos que se están iniciando parece que no hay suficientes problemas, por resolver y/o analizar mediante los espacios de fase y las ecuaciones de Hamilton, esta vez tenemos la oportunidad de tratar con el siguiente problema:

Para este sistema de dos resortes con una masa y gravedad, vamos a hallar la solución a las ecuaciones de movimiento, así como comparar el espacio de fase, de un sistema con un único resorte, con el sistema de resortes en serie, para poder ver las diferencias.

Como es costumbre, obtenemos el Hamiltoniano mediante una transformación de Legendre:

\[H(p_y,y)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}-mgy\]

Este hamiltoniano aunque es igual al caso en serie, por el sólo hecho de estar los resortes dispuestos en paralelo, nos da una solución diferente.

Como las energías en los resortes que actúan sobre la masa son iguales:

\[V=V_1+V_2\]

Para que se cumpla esta igualdad las distancias al cuadrado deben ser iguales de acuerdo a la forma del potencial $V=\frac{1}{2}ky^{2}$:

\[\frac{1}{2}ky^{2}=\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}\]

\[k=k_1+k_2\]

Obteniendo así la constante del resorte equivalente, luego el hamiltoniano toma la forma:

\[H(p_y,y)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy\]

Para este hamiltoniano ya hemos hallado la solución y es de la forma:

\[y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}\]

Pero $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$, y según resultados previos la solución toma la forma:

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} t+\phi\right)+\frac{mg}{k_1+k_2}\]

Ahora es el turno de mostrar el espacio de fase, la ecuación es fácil de obtener, esto debido a que en nuestro problema como no hay fuentes que disipen energía, se puede considerar como conservativo, y tiene el mismo valor de la energía total del sistema $H=E$, reemplazando este resultado en el hamiltoniano es posible obtener (o como hemos visto antes):

\[p_y=\pm\sqrt{\left[E+mgy-\frac{1}{2}(k_1+k_2)y^{2}\right]}\]

Que corresponde al espacio de fase:

El espacio de fase en color negro, corresponde a un sólo resorte, en color azul a los resortes en serie, y en rojo a nuestro problema de resortes en paralelo, los tres casos con gravedad, luego vemos la diferencia de energías que hay, comparamos respecto a la elipse más pequeña, la constante del resorte en negro es mayor que la constante del resorte equivalente en azul, y menor para la constante del resorte en rojo, además desde el espacio de fase en rojo (nuestro problema), es posible obtener el caso con un sólo resorte, así como el caso de resortes en serie, cuando la energía potencial sea más grande, la elipse será mayor que en negro, aunque menor en azul, de acuerdo a los valores que estamos manejando.

Ahora generalizamos los resultados a un sistema de $n$ resortes en paralelo, el hamiltoniano que depende de las $y_1,y_2,\cdots, y_n$, el momento $p_y$ y la solución toma la forma:

\[H(p_y,y_1,y_2,\cdots, y_n)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+\cdots+\frac{1}{2}k_ny_n^{2}-mgy\]

\[H(p_y,y_1,y_2,\cdots, y_n)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_ny_n^{2}-mgy\]

\[p_y=\pm\sqrt{\left[E+mgy-\frac{1}{2}(\sum_{n=1}^{n}k_n)y^{2}\right]}\]

\[y(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{n}k_n}{m}} t+\phi\right)+\frac{mg}{\sum_{n=1}^{n}k_n}\]