¿Cómo son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un oscilador armónico con gravedad en una dimensión?

Es el turno de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange para nuestro sistema de resorte con gravedad:

La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=\frac{1}{2}ky^{2}-mgy$, el lagrangiano para este caso es:
$$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy$$
Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)$$
$$\frac{d}{dt}(m\dot{y})+ky-mg=0$$
$$m\ddot{y}+ky-mg=0$$
Que si dividimos por $m$, llegamos a la ecuación diferencial siguiente:
$$\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g$$

Que puede ser representado en la forma (Esto porque $\frac{k}{m}=\omega^{2}$):

$$\ddot{y}+\omega^{2}y=g$$
Y la solución para está ecuación diferencial corresponde a:
$$y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}$$

También representada como:

$$y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{mg}{k}$$

Esta solución corresponde a la trayectoria que menos genera energía para nuestro problema.