¿Cómo son las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para un sistema de dos resortes y una masa en una dimensión? (Resortes en serie)

Es turno de aplicar las ecuaciones de Hamilton, para este problema, veremos que se reduce a un caso más sencillo

El hamiltoniano como es costumbre, se obtiene a partir de una transformación de Legendre, como vimos antes:

$$H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}+\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}$$

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

$$x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$

Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior:

$$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$

$$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

$$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$

Así, el hamiltoniano queda de la forma:

$$H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}x^{2}$$

Podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange y obtener la solución de dicha ecuación diferencial análogo al oscilador armónico unidimensional:

$$\ddot{x}+\frac{k_e}{m}x=0$$

$$x(t)=Asen(\omega_{e}t+\phi)$$

La solución también puede ser representada como:

$$x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\phi\right)$$

Procedamos a representar el espacio de fase de acuerdo al Hamiltoniano, tenemos en cuenta que se conserva la energía y por lo tanto $H=E$:

$$p_x=\sqrt{2m\left[E-\frac{1}{2}k_ex^{2}\right]}$$

$$p_x=\sqrt{2m\left[E-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\right)x^{2}\right]}$$

Representamos por la elipse de color negro un problema de un único resorte, y para dos resortes representado por la elipse de color azul, con el mismo valor de energía, y el mismo valor de las constantes de los resortes $k=k_1=k_2$

Además es posible generalizar el resultado si tenemos $n$ resortes en serie, así el hamiltoniano, $p_x$ en función de los $x_1\cdots x_n$ y la solución toman la forma:

$$H(p_{x},x_1\cdots x_n)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}+\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2}k_nx_{n}^{2}$$

$$H(p_{x},x_1\cdots x_n)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_nx_{n}^{2}$$

$$p_x=\sqrt{2m\left[E-\frac{1}{2}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}x^{2}\right]}$$

$$x(t)=Asen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\phi\right)$$