¿Es posible aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi a un sistema de dos resortes con una masa y gravedad en una dimensión? (Resortes en serie)

Es hora de poner a prueba nuestro problema frente al formalismo de Hamilton-Jacobi:

El hamiltoniano para este caso es:

$$H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy=E$$

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

$$y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$

Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior:

$$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$

$$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

$$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$

Así, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi que se obtienen del Hamiltoniano quedan de la forma:

$$\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}y^{2}-mgy=E$$

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_0}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}k_{e}y^{2}-mgy=E$$

Obtenemos una integral completa, momento en función de la coordenada generalizada, una ecuación integral y la solución análoga al problema del resorte con gravedad:

$$S(y)=\int \sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\right)y^{2}\right)}dy-Et$$

$$\frac{\partial S(y)}{\partial y}=p_{y}=\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\right)y^{2}\right)}$$

$$\frac{\partial S(y)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m\left(E+mgy-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}\right)y^{2}\right)}}dy-t$$

$$y(t)=\sqrt{2}\left(y_{0}-\frac{mg(k_1+k_2)}{k_{1}k_{2}}\right)sen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{mg(k_1+k_2)}{k_{1}k_{2}}$$

Es posible generalizar hasta con n resortes en serie con gravedad, así las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, la integral completa y la solución toman la forma:

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_0}{\partial x}\right)^{2}-mgy+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_ny_{n}^{2}=E$$

$$S(y)=\int \sqrt{2m\left[E+mgy-\frac{1}{2}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}y^{2}\right]}dy-Et$$

$$y(t)=\sqrt{2}\left(y_{0}-mg\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}\right)sen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\frac{\pi}{4}\right)+mg\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}$$