¿Es posible aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a un sistema de dos resortes con una masa en una dimensión? (Resortes en serie)

Completamos nuestro desarrollo de soluciones aplicando el formalismo de Hamilton-Jacobi al problema de una masa con dos resortes:

El hamiltoniano para este caso es:

$$H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}=E$$

Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento):

$$x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$

Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior:

$$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$

$$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2:

$$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$

Así, a partir del hamiltoniano aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, como se conserva la energía, el hamiltoniano es igual a la energía del sistema:

$$\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}x^{2}=E$$

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_0}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}k_{e}x^{2}=E$$

Obtenemos un resultado análogo al oscilador armónico sencillo visto con anterioridad, su integral completa, el momento del sistema, la integral integro-diferencial del sistema y su solución: 

$$S(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)}x^{2}\right)}dx-Et$$

$$\frac{\partial S(x)}{\partial x}=p_{x}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)}x^{2}\right)}$$

$$\frac{\partial S(x)}{\partial E}=\beta_{E}=\int\frac{m}{\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)}x^{2}\right)}}dx-t$$

$$x(t)=x_{0}sen\left(\omega_{e} t+\frac{\pi}{4}\right)$$

La solución también puede ser representada como:

$$x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{k_{1}k_{2}}{(k_1+k_2)m}}t+\frac{\pi}{4}\right)$$

Además es posible generalizar el resultado si tenemos $n$ resortes en serie, así las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, la integral completa y la solución toman la forma:

$$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_0}{\partial x}\right)^{2}+\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{2}k_nx_{n}^{2}=E$$

$$S(x)=\int \sqrt{2m\left[E-\frac{1}{2}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}x^{2}\right]}dx-Et$$

$$x(t)=x_{0}sen\left(\sqrt{\frac{1}{m}\frac{1}{\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{k_{n}}}}t+\frac{\pi}{4}\right)$$