Solución Física

Como vimos en publicaciones anteriores, me gusta dejar para lo último el método de Hamilton-Jacobi, porque a partir de la integral completa podemos obtener una ecuación integro-diferencial, para poder hallar la solución del problema, además de proporcionarnos el espacio de fase, y cumplir con todos los principios variacionales. Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a  nuestro hamiltoniano, tal como antes : $$\frac{p_{y}^{2}}{2m}-mgy=E$$ $$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}-mgy=E$$ Despejamos los términos del parentesis: $$\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E+mgy\right)$$ Aplicamos separación de variables: $$S_{0}=Y(y)$$ Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: $$\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E+mgy\right)$$ Despejamos la función $Y(y)$: $$\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E+mgy\right)}$$ $$\int \frac{dY(y)}{dy}dy=\int \sqrt{2m\left(E+mgy\right)} dy$$ \[\int dY(y)=\int \sqrt{2m...

Es turno para aplicar el formalismo de Hamilton, para obtener las ecuaciones de movimiento y obtener el espacio de fase. El hamiltoniano lo podemos calcular mediante la transformada de Legendre, desarrollada para ejercicios anteriores: $$H(p_y,y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}-mgy$$ Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema: $$\dot{p_y}=-\frac{\partial H}{\partial y}$$ $$\dot{p_y}=mg$$ $$\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_y}$$ $$\dot{y}=\frac{p_y}{m}$$ De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial para la caída libre: $$m\ddot{y}=mg$$ Dividimos por $m$ e igualamos a cero: $$\ddot{y}-g=0$$ La solución para está  ecuación diferencial  es: $$y(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+y_{0}$$ Luego hemos hallado la solución a nuestra ecuación de movimiento. Ahora vamos a ver como se comporta el espacio de fase para nuestro problema, ya hemos visto anteriormente como obtener el momento en función de la coordenada , debido a que se conse...

Ahora apliquemos las ecuaciones de Euler-Lagrange para encontrar la trayectoria más optima que sigue la partícula en el espacio, en caída libre La coordenada generalizada para este caso corresponde nuevamente en la dirección donde se efectúa el movimiento, que nosotros hemos decidio elegir con la coordenada $y$. La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=-mgy$ así el lagrangiano para este caso es: $$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy$$ Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy\right)\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}+mgy\right)$$ $$\frac{d}{dt}(m\dot{y})-mg=0$$ $$m\ddot{y}-mg=0$$ Que si dividimos por $m$, llegamos a la ecuación diferencial siguiente: $$\ddot{y}-g=0$$ Y la solución para está ecuación diferencial...

Sigamos con problemas sencillos, para poder aprender primero desde un clásico problema, que vimos muchas veces en el colegio. Como es un movimiento en una sola dimensión vamos a tener la siguiente suma de las fuerzas en $y$: $$\sum F_{y}: ma=mg$$ Procedemos a encontrar la ecuación del movimiento, y es la siguiente: $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=g$$ La sencilla ecuación diferencial se puede resolver por separación de variables y como resultado tenemos: $$y(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+y_{0}$$ Que corresponde a la ecuación de un movimiento acelerado en presencia de la gravedad. Y está es su gráfica: Podemos observar tres casos, la recta nos muestra el movimiento sin gravedad, que ya habíamos visto con la partícula libre, la curva roja (parábola positiva)corresponde a nuestro caso donde la partícula a medida que aumenta el tiempo, recorre mas distancia (no confundirse con la trayectoria que sigue en el espacio, que claramente es hacia el centro de la tierra), y por último la curva neg...

Como me gusta dejar lo mejor para lo último, vamos a aplicar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para el movimiento armónico del resorte: Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi tal cuál como vimos , de acuerdo al Hamiltoniano para nuestro problema: $$\frac{p_{x}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}=E$$ $$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)+\frac{1}{2}kx^{2}=E$$ Despejamos los términos del parentesis: $$\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial x}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)$$ Aplicamos separación de variables: $$S_{0}=X(x)$$ Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: $$\left(\frac{dX(x)}{dx}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)$$ Despejamos la función $X(x)$: $$\frac{dX(x)}{dx}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)}$$ $$\int \frac{dX(x)}{dx}dx=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx$$ $$\int dX(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)} dx$$ \[X(x)=\int \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)...

Esta vez, veremos como es la forma de las ecuaciones de Hamilton, más su solución (de las ecuaciones de movimiento), y además veremos como es el espacio de fase para el resorte en su movimiento armónico. Anteriormente vimos como calcular el hamiltoniano a partir del lagrangiano, lo único que debemos reconocer es el potencial y ya estamos listos para el siguiente resultado: $$H(p_x,x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}$$ Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema: $$\dot{p_x}=-\frac{\partial H}{\partial x}$$ $$\dot{p_x}=-kx$$ $$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_x}$$ $$\dot{x}=\frac{p}{m}$$ De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional: $$m\ddot{x}=-kx$$ Dividimos por $m$ e igualamos a cero: $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento: $$\ddot{x}+\omega^{2}x=0$$ La solución para está  ecuación dife...

Continuemos ahora con nuestro resorte para poder aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, para obtener las ecuaciones de movimiento, y la trayectoria más óptima que puede seguir en una dimensión. La coordenada generalizada para nuestro problema es aquella por donde se efectúa el movimiento, que corresponde al eje $x$, y ahora si podemos expresar el lagrangiano: La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ $$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$ Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange, podemos ver que en este caso no se van a hacer cero ninguna de las derivadas parciales respecto al lagrangiano: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}\right)$$ \[\frac{d...

Siguiendo con los problemas sencillos, vamos a encontrar las ecuaciones del movimiento para un resorte que realiza un movimiento armónico, también conocido como oscilador armónico mediante el formalismo de Newton. Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en x: $$\sum F_{x}:ma=-kx$$ Donde el primer término corresponde a la aceleración del cuerpo y el segundo corresponde a la fuerza de Hooke, $m$ es la masa del objeto atado al resorte, $k$ es la constante de elástica del resorte, a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional: $$ma=-kx$$ La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo: $$m\ddot{x}=-kx$$ Pasamos a dividir por la masa e igualamos a cero: $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento: $$\ddot{x}+\omega^{2}x=0$$ La solución para está ecuación diferencial es: \[x(t)=As...

Y finalmente vamos a mostrar como es la ecuación integro-diferencial para la partícula con potencial mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi (Debes tener en cuenta que digo finalmente, porque desarrollo el problema de cuatro formas diferentes, y lo mejor siempre se deja para lo último): Como explicamos para el formalismo de Hamilton para una partícula con potencial, la energía del sistema está representada por el hamiltoniano : $$H(p_q,q)=\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E$$ Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi: $$\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_{i},\frac{\partial S}{\partial q_{i}},t\right)=0$$ Pero no hay dependencia explicita del tiempo, por lo tanto la escribiremos simplemente como: $$S(q_{i})=S_{0}-Et$$ Ahora si aplicamos la ecuación de Hamilton-Jacobi para nuestro hamiltoniano, esto es colocar la derivada parcial $\frac{\partial S}{\partial q}$ en todo término donde esté presente el momento $p_q$ del sistema: $$\frac{p_{q}^{2}}{2m}+V(q)=E$$ \[\frac{1}{2m}\left(\fra...

Ahora para la partícula con potencial, mostraremos la forma de las ecuaciones de Hamilton Obtenemos el Hamiltoniano mediante una transformación de Legendre: $$H=\sum(p_{i}\dot{q_{i}}-L)$$ Dondé $L$ (Nuestro lagrangiano ya visto para la partícula con potencial ) es de la forma: $$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)$$ Para poder realizar esa transformación de Legendre debemos identificar los $p_{i}$ que están implicitos en las ecuaciones de Euler-Lagrange: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0$$ Donde los $\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$ representan los momentos generalizados $p_{i}$, el cuál es un elemento clave para obtener nuestras ecuaciones de movimiento. Calculamos $p_{i}$ de nuestro lagrangiano: $$p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}$$ $$p_{q}=\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)\right)$$ $$p_{q}=m\dot{q}$$ Despejamos $\dot{q}$ del anterior resultado: ...

Ahora es el turno mostrar como es la forma de las ecuaciones de movimiento para una partícula que puede estar en cualquier potencial, aún considerando que podemos estar en una dimensión Las ecuaciones de Euler-Lagrange para esta partícula con un potencial cualquiera son: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{a}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{a}}=0$$ Con $q_{a}$ las coordenadas generalizadas del sistema, en nuestro caso solo vamos a tener una única coordenada, que será $q$, así el lagrangiano toma la forma: $$L=T-V$$ Donde $T$ es la energía cinética del sistema y $V$ es la energía potencial $$T=\frac{1}{2}mv^{2}$$ $$V=V(q)$$ Donde $v=\dot{q}$ que corresponde a la notación de Newton para representar las derivadas respecto al tiempo, así la energía cinética adopta la representación: $$T=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}$$ Y el lagrangiano será: $$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)$$ Aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange y tenemos: \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\par...

Para poder definir las coordenadas generalizadas debemos hablar de los grados de libertad que tiene un sistema y de las ligaduras, para finalmente dar una definición de coordenadas generalizadas. ¿Qué son los grados de libertad? Son todas aquellas coordenadas independientes que me permiten especificar completamente la posición de cada uno de los elementos que conforman el sistema (o la configuración del sistema) ¿Qué son las ligaduras? Las ligaduras son todas aquellas restricciones que impiden el movimiento en un sistema de partículas, luego si no existe ninguna restricción se dice que el sistema es libre, y tiene libertad de movimiento en el espacio; estas se suelen clasificar en reonomas, escleronomas, holónomas y no-holónomas principalmente. Luego las coordenadas generalizadas básicamente representan el conjunto de coordenadas que pueden describir mejor el problema y tienen implementadas las ligaduras de forma natural, y por lo tanto será el conjunto en las cuáles se represent...

Hola, espero te encuentres bien Esta vez hablaremos sobre ti, una partícula libre y Hamilton-Jacobi. Tú eres una persona que tiene variedad de gustos, que quizá le gusta estar en redes sociales, o quizá te guste estar con tus amigos, o depronto puede que te guste la soledad, sin importar lo que te guste, estás acá conmigo, para poder aprender un poco más de física (en este caso física teórica), es posible que estés buscando información que estés buscando hace algún buen tiempo, y por razones del destino llegaste acá a este blog, u otra posibilidad es que ya conozcas desde hace algún tiempo el blog, y quieres aprender un poco más, o igualmente lo vas a necesitar para complementar tus clases, en cualquier caso, estás en el lugar correcto, porque acá te voy a guiar de la mano en este "oscuro" laberinto, que nos permite ver la maravilla de la naturaleza desde otro punto de vista. Para qué utilizamos una partícula libre?, es probable que en muchos textos de física hayas visto cual...