Solución Física

Es hora de poner a prueba nuestro problema frente al formalismo de Hamilton-Jacobi: El hamiltoniano para este caso es: $$H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy=E$$ Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): $$y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$ Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: $$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: $$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$ Así, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi que se obtienen del Hamiltoniano quedan de la forma: \[\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_{e}y^{2}-mgy=...

Esta vez consideramos el sistema de una masa con dos resortes como se muestra abajo: El hamiltoniano para este caso se obtiene de aplicarle al lagrangiano una transformación de Legendre visto antes : $$H(p_{y},y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky_{1}^{2}+\frac{1}{2}ky_{2}^{2}-mgy$$ Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): $$y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$ Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}$, $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: $$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: $$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$ Así, el hamiltoniano queda de la forma: \[H(p_{y},y)=\frac{p_{y...

Sigamos aplicando principios variacionales a nuestros problemas, en esta oportunidad será una masa con dos resortes y atracción gravitacional: Debemos tener en cuenta, que para este caso, el movimiento sólo se realiza en el eje $y$, que correspondera a su coordenada generalizada (después si tendremos problemas con más grados de libertad, todo porque me gusta complicar los problemas.) El lagrangiano para este caso es: $$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky_{1}^{2}-\frac{1}{2}ky_{2}^{2}+mgy$$ Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): $$y^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$ Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}ky^{2}$ despejando $y^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: $$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Su...

Como me gusta complicar un poco más los problemas, ahora a los dos resortes vistos anteriormente , les vamos a agregar atracción gravitacional: La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte: $$\sum F_{y}: ma=-k_{1}y_{1}-k_{2}y_{2}$$ Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa $m$, los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia $y_T$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte: $$y=y_1+y_2$$ Y de acuerdo a la ley de Hooke, $F=-ky$, es posible despejar la distancia recorrida $y=-\frac{F}{k}$, tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa: $$-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente $k_{e}$ en términos de $k_1$ y $k_2$: $$\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}$$ $$k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$ así la...

Completamos nuestro desarrollo de soluciones aplicando el formalismo de Hamilton-Jacobi al problema de una masa con dos resortes: El hamiltoniano para este caso es: $$H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}=E$$ Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): $$x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$ Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: $$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: $$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$ Así, a partir del hamiltoniano aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, como se conserva la ener...

Es turno de aplicar las ecuaciones de Hamilton, para este problema, veremos que se reduce a un caso más sencillo El hamiltoniano como es costumbre, se obtiene a partir de una transformación de Legendre, como vimos antes : $$H(p_{x},x)=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}+\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}$$ Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): $$x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$ Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}$, $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: $$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalente en términos de las constantes de los resortes 1 y 2: $$k_e=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$ Así, el hamiltoniano queda de la forma: \...

Es el turno de aplicarle las ecuaciones de Euler-Lagrange a nuestra masa que realiza un movimiento armónico con dos resortes: Cómo sólo consideramos movimiento horizontal, la coordenada generalizada corresponde a $x$, mas adelante se podran considerar problemas con más grados de libertad (Ahora empezamos con lo "sencillo") El lagrangiano para este caso es: $$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k_1x_{1}^{2}-\frac{1}{2}k_2x_{2}^{2}$$ Cómo las energías potenciales de ambos resortes se efectúan sobre la misma masa $m$, y la suma de los cuadrados de las distancias es igual a la distancia total que efectúan ambos resortes al cuadrado (sea compresión o alargamiento): $$x^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$ Y como la energía potencial para el resorte es $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ despejando $x^{2}=\frac{2V}{k}$, reemplazamos en la expresión anterior: $$\frac{2V}{k_e}=\frac{2V}{k_1}+\frac{2V}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumamos y obtenemos el valor de la constante equivalen...

Aunque este problema pueda parecer complicado, mostrare como reducirlo a uno más sencillo que ya hemos desarrollado en ocasiones anteriores La sumatoria de fuerzas para este problema de acuerdo a la ley de Hooke para cada resorte: $$\sum F_{x}: ma=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}$$ Como ambos resortes, se ven afectados por la misma fuerza de la masa $m$, los resortes se comprimen y/o alargan a una distancia $x$ (distancia total), que viene representado por la suma de las distancias que recorre cada resorte: $$x=x_1+x_2$$ Y de acuerdo a la ley de Hooke, $F=-kx$, es posible despejar la distancia recorrida $x=-\frac{F}{k}$, tenemos en cuenta que en cada resorte actúa la misma fuerza ejercida por la masa: $$-\frac{F}{k_e}=-\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}$$ $$\frac{1}{k_e}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$ Sumando podemos obtener el valor de la constante del resorte equivalente $k_{e}$ en términos de $k_1$ y $k_2$: $$\frac{1}{k_e}=\frac{k_1+k_2}{k_{1}k_{2}}$$ $$k_{e}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_1+k_2}$$ así la suma ...