Solución Física

Nuestro problema trata de encontrar las ecuaciones de Hamilton y el espacio de fase para la siguiente situación: Ya solucionamos un problema un poco más difícil, que nos deja ver como es el ordenamiento de los resortes en paralelo , y lo hice por una sencilla razón, para que podamos visualizar mejor el problema. Obtenemos nuestro hamiltoniano mediante una transformación de Legendre: $$H(p_x,x)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}$$ Este Hamiltoniano es igual (en forma) al caso en serie , pero como veremos más adelante su solución como su espacio de fase son diferentes. Vamos ahora a obtener la constante del resorte equivalente, la suma total de la energía potencial de los resortes es: $$V=V_1+V_2$$ Con $V=\frac{1}{2}kx^{2}$: $$\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}k_1x_1^{2}+\frac{1}{2}k_2x_2^{2}$$ Como los resortes recorren una misma distancia, el valor de la distancia al cuadrado, será como muchos de ustedes pensarán igual, así finalmente hallamos la constante del r...

Volviendo al "orden" de las publicaciones, claramente lo subrayo, porque en futuras publicaciones es muy probable que el enfoque de mostrar los diferentes problemas que podemos desarrollar y quizá solucionar con el formalismo de Euler-Lagrange cambien, y no se preocupen que por ahora todo se vea aparentemente como resortes, esto sucede por una simple razón, tanto el movimiento de los resortes como el movimiento del péndulo (que desarrollare y solucionaré en un futuro cercano), son la base del modelamiento de muchos sistemas físicos, por la sencillez que tienen. Ahora si podemos solucionar un sistema de dos resortes con una masa en paralelo, en la publicación donde añadíamos la gravedad, simplemente lo hacía por comparar y entender mejor (precisamente en está publicación) que el siguiente esquema representa un problema en paralelo: La única coordenada que nos permite describir el movimiento del sistema es $x$, como hasta el momento hemos visto en problemas en una sola dimens...

La idea de mostrar primero, un sistema de dos resorte con gravedad como en la publicación anterior, es para visualizar mejor, como sería un sistema de dos resortes en paralelo (sin gravedad), y que se mueve a través del eje horizontal: Ahora sí podemos formular nuestra suma de fuerzas que actúan sobre la masa: $$\sum F_x: ma=-k_1x_1-k_2x_2$$ Comparando con el problema en serie  la fuerza total es igual a la suma de las fuerzas: $$F=F_1+F_2$$ Pero $F=-kx$: $$-kx=-k_1x_1-k_2x_2$$ Pero como la distancia recorrida es la misma, tenemos el valor de la constante del resorte equivalente: $$k=k_1+k_2$$ Es así como la sumatoria de fuerzas en términos de la constante del resorte equivalente, queda de la forma: $$\sum F_x: ma=-kx$$ Que corresponde a la ya solucionada ecuación diferencial del oscilador armónico en una dimensión : $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ $$x(t)=Asen(\omega t+\phi)$$ Con $\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$. Aunque la solución tenga el mismo procedimiento, y aparentemente la mi...

Puede que la pregunta suene un poco tonta para aquellos que han visto las publicaciones que he hecho, y que además saben del tema, y para algunos otros sea una ventana hacia el conocimiento, pues muchas veces vemos aplicado el formalismo de Hamilton-Jacobi a algunos problemas específicos que se proponen en los libros de Mecánica Clásica, Mecánica Teórica o Mecánica Analítica, pero no podemos culparlos; son problemas que pueden ser considerados fundamentales para hacer una transición a otras partes interesantes de la física, por ahora en este blog pretendo llenar esos vacíos respecto a aquellos ejercicios que desconocíamos por completo a los cuales se les puede aplicar estos interesantes formalismos, (O es posible que estén en algún libro). Nuestro sistema a resolver mediante el formalismo de Hamilton-Jacobi es el siguiente: Un sistema de dos resortes con una masa  en paralelo con gravedad, los dos sistemas en las imágenes son equivalentes, y tienen la misma solución. Su hamiltonian...

 Aunque los problemas que surgen al analizar el movimiento en una dimensión, para aquellos que se están iniciando parece que no hay suficientes problemas, por resolver y/o analizar mediante los espacios de fase y las ecuaciones de Hamilton, esta vez tenemos la oportunidad de tratar con el siguiente problema: Para este sistema de dos resortes con una masa y gravedad, vamos a hallar la solución a las ecuaciones de movimiento, así como comparar el espacio de fase, de un sistema con un único resorte, con el sistema de resortes en serie, para poder ver las diferencias. Como es costumbre, obtenemos el Hamiltoniano mediante una transformación de Legendre : $$H(p_y,y)=\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k_1y_1^{2}+\frac{1}{2}k_2y_2^{2}-mgy$$ Este hamiltoniano aunque es igual al caso en serie , por el sólo hecho de estar los resortes dispuestos en paralelo, nos da una solución diferente. Como las energías en los resortes que actúan sobre la masa son iguales: $$V=V_1+V_2$$ Para que se cumpla esta ...

Si has estado leyendo el blog, te has dado cuenta que vamos desarrollando problemas cada vez más complejos, aunque algunas veces estos se puedan reducir a problemas más sencillos, lo unico diferente que realizamos en estos ejercicios que tienen esa ventaja es presentar el lagrangiano del sistema, los puntos clave de la solución, así como una breve interpretación; en este caso tenemos dos resortes que sostienen una masa, con gravedad: Si te preguntas cuál es la coordenada generalizada para este problema, pues debemos recordar que es aquella por donde se  realiza el movimiento, y el movimiento en ambos sistemas se realiza en el eje $y$, ahora si podemos formular nuestro lagrangiano de la siguiente forma: $$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}k_1y_1^{2}-\frac{1}{2}k_2y_2^{2}+mgy$$ Comparando con nuestro sistema desarrollado con resortes en serie , en esta ocasión se efectua una energía potencial total de los resortes, igual a la energía que contribuye cada resorte a la masa.  \[...

 Esta vez he decidido cambiar el orden de mostrar las publicaciones, pues como ya lo han visto (o en caso de no verlo los invito a que vean el orden de las publicaciones en el blog, de acuerdo a cada una de las formas de solucionar las ecuaciones del movimiento) que empiezo con un problema sin tener en cuenta la gravedad; y después introducimos la gravedad, para poder ver los resultados que cambian. Ahora si nos dirigimos a nuestro problema que consiste de dos resortes en paralelo que sostienen a una masa, aunque podemos ver dos casos análogos, que tienen la misma solución: Aunque es más claro los resortes en paralelo en el esquema a nuestra derecha, aplicara las mismas ecuaciones de movimiento para la configuración de la izquierda. Es momento de obtener la suma de fuerzas que actúan sobre la masa en el eje $y$: $$\sum F_y:ma=-k_1y_1-k_2y_2+mg$$ Pero a diferencia del problema en serie  acá la suma total de fuerzas que actúan sobre la masa es: $$F=F_1+F_2$$ Esto la hacemos para...