Solución Física

Finalmente en este problema con un poco más de dificultad vamos a aplicarle las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para obtener la integral completa, el momento en función de la coordenada (escribo en singular, porque aún estamos en una dimensión) y su respectiva ecuación integro-diferencial que al resolverla da la solución a nuestro problema. Aplicamos las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de acuerdo al procedimiento visto con potencial : $$\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$ $$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy=E$$ Despejamos los términos del parentesis: $$\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial y}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)$$ Aplicamos separación de variables: $$S_{0}=Y(y)$$ Y nos quedara en términos de una diferencial ordinaria de primer orden: $$\left(\frac{dY(y)}{dy}\right)^{2}=2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)$$ Despejamos la función $Y(y)$: \[\frac{dY(y)}{dy}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right...

Esta vez veremos las ecuaciones de movimiento con el formalismo de Hamilton, y su respectivo espacio de fase que será comparado con el espacio de fase para el caso sin gravedad. El hamiltoniano se obtiene siguiendo el mismo procedimiento  mediante una transformación de Legendre: $$H(p_y,y)=\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}ky^{2}-mgy$$ Obtenemos las ecuaciones de Hamilton para el problema: $$\dot{p_y}=-\frac{\partial H}{\partial y}$$ $$\dot{p_y}=-ky+mg$$ $$\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_x}$$ $$\dot{y}=\frac{p_y}{m}$$ De la primera de las ecuaciones de Hamilton se puede obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico unidimensional: $$m\ddot{y}=-ky+mg$$ Dividimos por $m$ e igualamos a cero: $$\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g$$ con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movimiento: $$\ddot{y}+\omega^{2}y=g$$ La solución para está  ecuación diferencial  es: $$y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}$$ Por lo  tanto la sol...

Es el turno de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange para nuestro sistema de resorte con gravedad: La energía cinética de la masa es $T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ y la energía potencial corresponde a $V=\frac{1}{2}ky^{2}-mgy$, el lagrangiano para este caso es: $$L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy$$ Calculamos las ecuaciones de Euler-Lagrange: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-\frac{1}{2}ky^{2}+mgy\right)$$ $$\frac{d}{dt}(m\dot{y})+ky-mg=0$$ $$m\ddot{y}+ky-mg=0$$ Que si dividimos por $m$, llegamos a la ecuación diferencial siguiente: $$\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g$$ Que puede ser representado en la forma (Esto porque $\frac{k}{m}=\omega^{2}$): $$\ddot{y}+\omega^{2}y=g$$ Y la  solución para está ecuación diferencial  corresponde a: \[y...

Es hora de complicar un poco más el problema, vamos a agregarle el peso a una masa colgando de un resorte que le va a proporcionar un movimiento armónico Como es un movimiento en una sola dimensión, vamos a tener la siguiente suma de fuerzas en y: $$\sum F_{y}:ma=-ky+mg$$ Donde el primer término al lado derecho de la igualdad corresponde a la fuerza de Hooke y el segundo al peso del cuerpo, $m$ es la masa del objeto atado al resorte, $k$ es la constante de elástica del resorte, el tpermino a la izquierda del igual nos proporciona el movimiento; a partir de esta expresión es posible obtener la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional con gravedad: $$ma=-ky+mg$$ La aceleración es una doble derivada respecto al tiempo: $$m\ddot{y}=-ky+mg$$ Pasamos a dividir por la masa e igualando a $g$ obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea: $$\ddot{y}+\frac{k}{m}y=g$$ con $\frac{k}{m}=\omega^{2}$ (frecuencia angular)$^{2}$ y llegamos a la ecuación del movi...